Задача: Вписанная в треугольник ABC окружность касается его стороны AC в точке K. Известно, что AK = a, CK = b (a > b). Прямая, проходящая через точки касания этой окружности с другими сторонами треугольника, пересекает прямую AC в точке M. Найдите MC. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: По теореме об отрезках касательных AN = AK = a; CK = CL = b; BN = BL. По теореме Менелая CL/BL * BN/AN * AM/CM = 1 ⇒ b/BL * BN/a * (a + b + x)/x = 1 b/a * (a + b + x)/x = 1 (a + b + x)/x = a/b ax = ab + b^2 + bx ax - bx = b(a + b) x(a - b) = b(a + b) x = b(a + b)/(a - b) Ответ: b(a + b)/(a - b). Задача решена.
Задача: Вписанная в треугольник ABC окружность касается его стороны AC в точке K. Известно, что AK = a, CK = b (a > b). Прямая, проходящая через точки касания этой окружности с другими сторонами треугольника, пересекает прямую AC в точке M. Найдите MC.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об отрезках касательных AN = AK = a; CK = CL = b; BN = BL. По теореме Менелая CL/BL * BN/AN * AM/CM = 1 ⇒
b/BL * BN/a * (a + b + x)/x = 1
b/a * (a + b + x)/x = 1
(a + b + x)/x = a/b
ax = ab + b^2 + bx
ax - bx = b(a + b)
x(a - b) = b(a + b)
x = b(a + b)/(a - b)
Ответ: b(a + b)/(a - b).
Задача решена.