Маленький математический этюд
Для чтения достаточно знания элементарной геометрии (подобные треугольники). Ну, и одно алгебраическое вычисление предлагается выполнить самостоятельно, чтобы убедиться в правильности приведённого результата.
Рассмотрим такую диспозицию:
Горизонтальная прямая внизу изображает прямолинейную дорогу. Выше ее — однородное (одинаковое во всех местах) и изотропное (одинаковое во всех направлениях) поле.
Расстояния: AA' = D, BB' = d, A'B' = L.
Задача
Пешеходу надо, начав движение из точки A, выйти на дорогу, чтобы встретиться там с проезжающим автомобилистом, и затем прибыть в точку B. Где должна быть расположена точка С выхода на дорогу, чтобы путь потребовал меньше всего усилий? Ходить по дороге пешеходу нельзя :-)
Напомню, поле однородно и изотропно. Значит, затраты на прохождение одной единицы расстояния не зависят ни от места, ни от направления движения.
В таких условиях самым легким является самый короткий путь.
Поэтому, в частности, от точки A к точке C и от C к точке B путь должен быть прямолинейным.
А где у нас наблюдается прямолинейное перемещение? Свет распространяется прямолинейно (в однородной изотропной среде).
Принцип Ферма (Пьер Ферма, которого Малая и Великая теоремы): луч света распространяется по траектории, наибыстрейшей из всех соседних.
То есть при условии постоянной скорости света он распространяется по кратчайшему пути.
Из принципа Ферма выводится закон отражения света: угол отражения равен углу падения.
Итак, оптимальная точка C, дающая кратчайший путь, отвечает закону отражения света. Углы падения и отражения отмечены синим цветом на следующем рисунке.
Поэтому ∟ACA' = ∟BCB', треугольники AA'C и BB'C подобны. Отсюда точка С должна делить отрезок A'B' в отношении D:d.
Таким образом, A'C = D/(D + d) ∙ L, и, соответственно, B'C = d/(D + d) ∙ L.
Одна из привлекательных сторон математики заключается в том, что она решает не задачи, а их математические модели. Модель это отношения между компонентами задачи, зависимости, уравнения, формулы... И если две задачи описываются одной и той же моделью, то готовое решение одной из них пригодно в качестве решения другой.
Конечно, мы воспользовались тем, что решение для света, в виде закона отражения, уже известно. Когда-нибудь будет не лень, и я напишу, как это решение выводится из принципа Ферма :-) А после, может быть, уже и закон преломления.
