Задача: Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, провели прямую, перпендикулярную биссектрисе угла A. Эта прямая пересекает стороны AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что 4 ⋅ BX ⋅ CY = XY^2.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Прежде чем приступить к решению задачи, рассмотрим треугольник △ABC с углами 2α, 2β и 2γ. Впишем в треугольник окружность и проведём отрезки биссектрис AO, BO, CO (см. рисунок)
По теореме о сумме углов треугольника 2α + 2β + 2γ = 180°, тогда α + β + γ = 90°; β = 90° - α - γ. Рассмотрим △AOC: ∠AOC = 180° - α - γ = 90° + (90° - α - γ) = 90° + β. Аналогично ∠AOB = 90° + γ и ∠AOB = 90° + α.
Вернёмся к задаче. Проведём отрезки биссектрис BO и CO. По теореме, доказанной выше, ∠AOB = 90° + 1/2 * ∠ACB; ∠AOC = 90° + 1/2 * ∠BAC. Тогда ∠BOX = ∠AOB - ∠AOX = 90° + 1/2 * ∠ACB - 90° = 1/2 * ∠ACB; ∠COY = ∠AOC - ∠AOY = 90° + 1/2 * ∠BAC - 90° = 1/2 * ∠BAC
⇒ ∠BOX = ∠BCO = ∠ACO; ∠COY = ∠CBO = ∠ABO (см рисунок)
Рассмотрим △BOX и △OCY:
- ∠BOX = ∠OCY (по вышедок)
- ∠XBO = ∠COY (по вышедок)
⇒ △BOX ~ △OCY по I признаку подобия треугольников ⇒ OX/CY = BX/OY ⇒ CY * BX = OX * OY.
Рассмотрим △XAY: AO - биссектриса и высота ⇒ △XAY - равнобедренный, тогда по св-у равнобедренного треугольника OX = OY = XY/2. Тогда OX * OY = XY/2 * XY/2 = 1/4 * XY^2 ⇒ CY * BX = 1/4 * XY^2 ⇒ 4 * CY * BX = XY^2.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.