Задача: Стороны треугольника равны 5, 5 и 6. В него вписали второй треугольник так, что все его стороны соответственно перпендикулярны сторонам исходного. Докажите, что эти треугольники подобны, и найдите коэффициент их подобия.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Поскольку по условию AB = BC, то △ABC - равнобедренный по определению. Пусть углы при основании ∠BAC = ∠BCA = α.
Опустим высоту BH на основание AC, по св-у р/б треугольника BH - медиана и биссектриса ⇒ AH = CH = 3. Тогда прямоугольный треугольник △AHB - египетский со сторонами 3, 4, 5
⇒ sin α = 4/5; cos α = 3/5; tg α = 4/3 (см рисунок)
Поскольку ∠MAK = α, то ∠AMK = 90° - α ⇒ ∠NMK = 180° - 90° - (90° - α) = α. Аналогично ∠NKM = α. Тогда △MNK - равнобедренный; Пусть MN = NK = x.
Рассмотрим △ABC и △MNK:
- ∠BAC = ∠NMK
- ∠BCA = ∠NKM
⇒ △ABC ~ △MNK по I признаку подобия треугольников ⇒ x/5 = MK/6 = k.
В △KNC: CN = x/tg α = x/(4/3) = 3x/4. В △NMC: BN = x/sin∠MBN = x/sin(180° - 2α) = x/sin(2α) = x/(2sin α * cos α) = x/(2 * 4/5 * 3/5) = x/(24/25) = 25x/24. Поскольку CN + BN = BC = 5, то
3x/4 + 25x/24 = 5
x(18 + 25)/24 = 5
43x/24 = 5.
x = 120/43
⇒ k = x/5 = (120/43)/5 = 24/43.
Ответ: 24/43.
Задача решена.