Задача: Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH. В треугольнике ACH проведена биссектриса CL. Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой CL, пересекает прямую CH в точке K. Докажите, что прямая KL делит катет AC пополам.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим △ACH и MK: по теореме Менелая HL/LA * AM/MC * CK/HK = 1. Рассмотрим трапецию CLKB: по св-у трапеции диагонали точкой пересечению делятся на отрезки пропорциональные основаниям трапеции ⇒ LH/HB = CH/HK ⇒ CK/HK = LB/BH.
В △CHL: ∠CLH = 90° - α; В △ACB: ∠BCL = 90° - α ⇒ ∠CLH = ∠BCL ⇒ △CBL - равнобедренный ⇒ BL = BC ⇒ LB/BH = BC/BH.
Рассмотрим △ACH: по св-у биссектрисы HL/LA = CH/CA.
Рассмотрим прямоугольные △ACH и △CHB:
- ∠ACH = ∠CBH
⇒ △ACH ~ △CHB по I признаку подобия треугольников ⇒ CH/BH = CA/BC; CH/CA = BH/BC.
Итак, HL/LA = CH/CA, CK/HK = BC/BH, однако поскольку CH/CA = BH/BC, то HL/LA = HK/CK ⇒ HL/LA * CK/HK = 1.
Тогда поскольку HL/LA * AM/MC * CK/HK = 1, то
AM/MC = 1
AM = MC
Что и требовалось доказать.
Задача решена.