Задача: В прямоугольном треугольнике ABC провели высоту BH к его гипотенузе. В треугольники ABH и CBH вписали квадраты так, что сторона каждого квадрата лежит на гипотенузе своего треугольника, а две оставшиеся вершины на его катетах. Докажите, что эти квадраты имеют общую точку.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Прежде чем приступить к решению задачи, рассмотрим прямоугольные треугольник △ACB со сторонами a, b и c, в который вписали квадрат MNKL так, что его сторона NK лежит на гипотенузе треугольника. Пусть сторона квадрата равна x. Каждый угол, равный ∠A, обозначим за угол α (см рисунок)
По теореме Фалеса AM/CM = CL/BL. Рассмотрим △ACB: sin α = a/c; cos α = b/c. В △MCL: CL = x * sin α = ax/c. В △LKB: BL = x/cos α = x/(b/c) = cx/b
⇒ CL/BL = (ax/c)/(cx/b) = ab/(c^2) ⇒ AM/CM = ab/(c^2) ⇒ квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник данным образом, делит его катеты в отношении ab/(c^2), считая от прямого угла.
Вернёмся к задаче. Предположим, что данные квадраты не имеют общей точки (см рисунок)
Тогда по теореме, доказанной выше, в △BHA: NH/BN = AH*BH/(AB^2) и в △BHC: N'H/BN' = CH*BH/(BC^2).
Пусть ∠A = α, тогда ∠HBC= α. Рассмотрим △ABC: sin α = BC/AC; cos α = AB/AC.
В △AHB: cos α = AH/AB. В △HBC: sin α = CH/BC
⇒ CH/BC = BC/AC; AH/AB = AB/AC.
Тогда NH/BN = AH*BH/(AB^2) = AH/AB * BH/AB = AB/AC * BH/AB = BH/AC; N'H/BN' = CH*BH/(BC^2) = CH/BC * BH/BC = BC/AC * BH/BC = BH/AC.
Итак, NH/BN = BH/AC и N'H/BN' = BH/AC ⇒ NH/BN = N'H/BN' ⇒ HN = BN * N'H/BN'. Поскольку BH = BN + NH, то
BH = BH + BN * N'H/BN'
BH = BN(BN' + N'H)/BN'
BH = BN * BH/BN' | /BH
BN/BN' = 1
BN = BN'
⇒ Поскольку BN = BN', то точки N и N' совпадают⇒ наше предположение было неверным ⇒ квадраты имеют общую точку.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.