Ещё в июне 1998 года автор совершил открытие: установил, что при росте высоты (N) Пирамиды делителей (см. Рис. 1) отношение двух её фундаментальных параметров (M и F) устремляется к некой константе 1,64… (автор тогда решил, что это, возможно, ℮^1/2 = 1,64872…):
M/F → 1,64…, (1)
где М – суммарная «масса» всех чёрных камней в Пирамиде высотой N (масса указана «внутри» каждого чёрного камня). Иначе говоря, М – это сумма всех делителей у всех натуральных чисел на отрезке [1; N];
F – количество всех камней (чёрных, белых, серых) в Пирамиде высотой N. Иначе говоря, F – это площадь указанной плоской Пирамиды (в единицах площади одного плоского камня). Параметр F вычисляется по очевидной формуле (которую открыл гениальный Карл Гаусс будучи ещё ребёнком):
F ≡ 1 + 2 + 3 + 4 +…+ N = (1 + N)∙N/2 ≈ N^2/2. (2)
Об открытие формулы (1) автор написал в своей книжке (июль 2001 года) «Параллельные миры или дискретность пространства-времени» (в гл. 2.2, закон 10) [для справки по данной книжке: ББК 22.313 / И 85 и ISBN 5-87050-086-9].
Однако уже 01.11.2002 г. у автора не осталось сомнений, что отношение M/F устремляется к замечательной константе π^2/6 = 1,644 934 066 848… . Так при N = 10^9 автор на ПК с помощью своей программы (считавшей 3 часа непрерывно) получил 8 верных цифр после запятой в значении M/F. При этом была получена следующая эмпирическая формула (говорящая о том, что скорость сходимости величин M/F и π^2/6 – довольно медленная):
|M/F – π^2/6| ≈ 0,2335/N^0,9397 . (3)
Таким образом, в большом ряде фундаментальных законов Пирамиды делителей можно записать и такой закон:
M ~ π^2/6∙F = π^2/6∙(1 + N)∙N/2 ≈ π^2/6∙N^2/2. (4)
Об этом написано в книжке автора (июнь 2002 года) «Параллельные миры II или структура пространства-времени» (в гл. 1.4, закон 10) [для справки по книге: ББК 22.1 / И 85 и ISBN5-87050-199-7].
Обе выше указанные книжки успешно продавались в «Доме книги» на Невском проспекте и в других книжных магазинах Санкт-Петербурга: с 16.08.2001 г. по апрель 2006 г. продано почти по 500 экземпляров каждой из них. В настоящее время почти все «бумажные» книги автора (проданные через книжные магазины города) размещены в электронном виде «ВКонтакте» в сообществе «ЧИСЛОФИЗИКА-1».
Позже автор понял (и описал в своих статьях), как можно легко объяснить появление формулы (4) с помощью Пирамиды делителей. Если посмотреть на её вершину (см. Рис. 1), то мы явно увидим, как минимум, четыре луча чёрных камней (уходящих вниз до бесконечности): в крайнем луче (правый край Пирамиды) всегда будет N чёрных камней; под ним идёт в луч, где чёрных камней в 2 раза меньше; а ещё ниже идёт луч, где в 3 раза меньше чёрных камней и т.д. (см., например, все чёрные камни у числа N = 24). С учётом формулы (2) в Пирамиде высотой N (а именно: F ≡ 1 + 2 + 3 + 4 +…+ N ≈ N^2/2) рассмотрение всех лучей в Пирамиде приводит нас к такой суммарной массе (М) всех чёрных камней (суммируем массу всех чёрных камней в каждом из N лучей): М ≈ N^2/2 + (N/2)^2/2 + (N/3)^2/2 + (N/4)^2/2 + … + (N/N)^2/2 = (1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + … + 1/N^2)∙N^2/2, где сумма в скобках устремляется к числу π^2/6 при N, стремящемся к бесконечности (N → ∞).
Недавно в Википедии в статье «Ряд обратных квадратов» (в её разделе «Некоторые применения») автор обнаружил такие слова: «Сумма делителей натурального числа N растёт в среднем как линейная функция π^2/6∙N», и к этим словам стоит ссылка: «Арнольд В. И. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.». Куда я не стал заглядывать, поскольку, во-первых, книга весьма известного российского математика В. И. Арнольда (1937 – 2010) вышла в 2005 г. (значительно позже моих вышеуказанных двух «бумажных» книжек); во-вторых, приведенная цитата (?) из книги Арнольда, строго говоря, не совсем правильная, ведь из моей формулы (4) получаем, что средняя сумма делителей (M/N) у гипотетического (реально не существующего) натурального числа на отрезке [1; N] должна быть в 2 раза меньше, чем у Арнольда: M/N ≈ π^2/6∙N/2.
Ряд обратных квадратов – это такой бесконечный ряд:
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 + … =
= π^2/6 = 1,644 934 066 848 226… (5)
Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в диссертации итальянского математика Пьетро Менголи (1644 год, опубликована в 1650), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму этого ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, Христиан Гольдбах, братья Иоганн и Якоб Бернулли (базельский профессор математики пытался найти сумму ряда обратных квадратов в 1689 году). Они также вычислили несколько значащих цифр суммы ряда (без всякого ПК дошли до значения 1,644 934 066), однако никто не мог точно определить, с чем это значение может быть связано.
Первым сумму ряда обратных квадратов в 1735 году нашел 28-летний гениальный Леонард Эйлер, который сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли (сыну Иоганна Бернулли): «… шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1». При этом только второй раз (после 1673 г., когда Лейбниц впервые вычислил уже известный бесконечный знакочередующийся ряд: 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + … = π/4) показало, что число π, первоначально определённое в геометрии, на деле является универсальной математической константой и в дальнейшем этот факт постоянно находил новые подтверждения. Как отмечает известный британо-американский писатель и популяризатор математики Джон Дербишир (род. 1945), второе (после ряда Лейбница) появление числа π в неожиданном, совершенно не геометрическом контексте, произвело на математиков XVIII века сильное впечатление. Нахождение суммы обратных квадратов не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии – комплексного анализа.
Ряд обратных квадратов [который теперь математики обозначают ζ(2)] оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана ζ(s), играющей огромную роль в анализе и теории чисел (см. в Википедии статью «Гипотеза Римана», за доказательство этой гипотезы Математическим институтом Клэя обещана награда в один миллион долларов США). Начал этот путь сам Эйлер, рассмотрев обобщение ряда обратных квадратов, при этом любой бесконечный ряд для произвольной чётной степени (Σ = 1/N^s при s ≥ 2) оказался также связанным с числом π. А вот для рядов из нечётных степеней (s = 3, 5, 7, …) теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов:
ζ(3) ≡ 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + 1/5^3 + 1/6^3 + 1/7^3 + … (6)
выражается бесконечной непериодической десятичной дробью: 1,202 056 903 159 594 … (на июль 2020 года было вычислено 1 200 000 000 000 значащих цифр этой десятичной дроби). Число ζ(3) названо постоянной Апери в честь французского математика Роже́ Апери́ (1916 – 1994), доказавшего в 1978 году, что ζ(3) является иррациональным числом.
Автор будет благодарен тем, кто сообщит ему (с достоверной ссылкой на конкретный источник) об открытии формулы M ~ π^2/6∙(1 + N)∙N/2 (в обозначениях данной статьи). Особенно интересно, если дата такого открытия – до 16.08.2001 г. (начало продаж в книжных магазинах книги автора «Параллельные миры или дискретность пространства-времени»).
01.12.2023, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2023
