Итак, калькулятор официально разрешен на ОГЭ.
И.В.Ященко нахваливает это нововведение в «Российской газете».
В.А.Садовничий одобряет. Мол, наконец, этот «первый шаг сделан» (а какие там дальше шаги планируются? огласите весь список, пожалуйста!).
Большинство преподавателей закономерно возмущаются, но ничего изменить не могут.
Неделю назад мы в группе разбирали задания экзамена и решали их с помощью обычного калькулятора.
Однако, коллеги указали на то, что мы преуменьшили масштаб проблемы.
Ведь разрешён не просто калькулятор, а любой непрограммируемый.
А современные даже непрограммируемые калькуляторы могут считать и обыкновенные дроби, и квадратные уравнения, а также делать другие вычисления.
Ждём, когда калькуляторы смогут ещё и, например, графики строить.
Экзамен стал просто абсурдом...
Однако, у внедрения калькуляторов неожиданно оказалось много защитников как среди родителей, так и среди школьных учителей.
Одно из возражений такое: «Давайте сейчас дадим слабому и сильному школьнику калькулятор. Слабому это не поможет. А сильного застрахует от ошибок.»
Или: «Для решения заданий 2-5 калькулятор хорошему ученику поможет сэкономить время для решения заданий на 2 балла. Да и при решении задачи порой попадаются громоздкие вычисления. А калькулятор поможет, останется время для номера 22, 23.»
Это некорректный и даже манипулятивный подход. Здесь рассматривается предмет или явление лишь в моменте, не фиксируя изменения. Как будто сильные и слабые в математике дети – это некоторый диагноз и они не могут в процессе учёбы переходить из одной лиги в другую.
Правильно рассматривать не готовых девятиклассников на экзамене, а ставить вопрос иначе.
Давайте не просто дадим кому-то калькулятор, а просто заранее скажем 5-6-класснику или даже 7-8-класснику, что на экзамене будет техника.
Будут ли они так же пытаться научиться складывать дроби? А решать квадратные уравнения? Эффективна ли будет такая учёба?
У среднего школьника и так мотивация не слишком высокая, а тут ещё официально можно ничего не учить.
В той же статье мы привели пример того, как мыслит ученик с калькулятором и без него при решении одной классической задачи на вычисление суммы чисел от 1 до 100.
Этот пример, конечно, был предназначен больше учителям математики, которые сталкивались с подобной задачей и понимают, что она на самом деле развивает в учениках.
Однако, обычные родители сетовали на то, что обычный человек с нематематическим складом ума до такого не додумается.
И здесь повторяется та же ошибка.
Математический склад ума – это не нечто, что дано некоторым избранным людям свыше. Это не закладывается строго в раннем возрасте, а дальше остаётся неизменным. После трёх – не поздно.
Даже после 40, 50, 60 лет не поздно заниматься школьной математикой...
То, что называется математическим мышлением, математическим складом ума и другими синонимами спокойно развивается как у школьников, так и у взрослых людей, если их планомерно и добросовестно учить по классическим программам.
Дальше я попытаюсь показать на простых примерах, как именно калькулятор или иные технические средства убивают даже зачатки подобного мышления.
Сколько будет 7+4?
Конечно, вы сразу скажете ответ 11.
Также я уверен, что вы не считали этот пример по действиям, а просто не задумываясь назвали верный результат.
Вы его просто знаете. В первую очередь за счёт многократного повторения и использования в разных задачах. Вам сейчас уже не важно, как именно он у вас всплыл в голове. Скорее всего вы даже и не вспомните, как вас в начальной школе учили складывать эти числа.
Однако, в первом классе этому именно учат и делают это по шагам.
Сначала учат счёту в пределах десяти. И в первую очередь не самим арифметическим операциям, а больше составу чисел.
Это уже серьёзный математический концепт – факт, что любое число может быть разбито на сумму двух чисел, причём разными способами. Принцип прост, но очень важен.
Нам не так уж и нужно вычислять, что 4+5=9. Это ближе к алгоритмическому мышлению – дали два входящих значения и по ним мы получили результат.
Нам важно понимать, что девять может распадаться на четыре и пять, или на три и шесть, или на два и семь, или один и восемь.
А дальше ученики долго закрепляют состав числа 10.
В любой момент первоклассник должен решить задания вроде «что нужно прибавить к трём, чтобы получилось 10?». Это, кстати, и пропедевтика уравнений, причём без буквенных обозначений, которые вредны в младших классах.
Таким образом мы подбираемся к алгоритму сложения с переходом через десяток.
7+4=?
Что нужно добавить к семи, чтобы получился десяток? (Здесь десяток - это некоторое удобное для работы круглое число)
Нужно добавить тройку.
А как разбить 4, чтобы одно из чисел было 3?
4=3+1
В итого получается 7+4=7+3+1=10+1=11.
Ученику с калькулятором в руках такой алгоритм не нужен. Он нажимает на кнопки и получает результат. Концепт разбиения и доведения до красивого целого проходит мимо него.
Если ставить целью только получение результата без понимания того, почему нужно делать именно так, то ученик не усвоит эту важную идею.
А в третьем классе может попасться задача 29997 + 13454 = ?.
Калькуляторный ребёнок не додумается до разбиения второго слагаемого. Зачем это делать, если в руках есть мощная счётная машина?
У него даже мысли не возникнет подумать и решить вот так:
29997 + 13454 = 29997 + 3 + 13451 = 30000 + 13451 = 43451.
Хотя это делается в уме за пару секунд.
Не будем проходить по всем классам и показывать как калькулятор делает всё за ученика, в то время как школьная программа пытается его научить идее разбиения и дополнения до.
Сразу перешагнём в алгебру 8 класса.
Вот уже математическая задача, для которой якобы требуется какой-то отдельный математический склад ума: выделить полный квадрат в трёхчлене x²+6x+11.
И внезапно оказывается, что ученики уже не могут этого сделать...
Ведь для этого нужно довести x²+6x до красивого и можно сказать «круглого» выражения x²+6x+9, и при этом держать в голове, что 11=9+2.
А уже не получается, т.к. нужно было раньше ставить подобное мышление...
Другая задача второго класса с последующим развитием:
«В кассе накопились монеты 5 руб., 5 руб., 5 руб., 10 руб., 2 руб., 2 руб., 5 руб., 2 руб., 10 руб., 10 руб. Сколько рублей составляют монеты?»
Ученик, который никогда не сталкивался с подобной задачей, сначала составит громоздкое выражение:
5 + 5 + 5 + 10 + 2 + 2 + 5 + 2 + 10 + 10.
А потом будет последовательно складывать эти числа.
Ученик с калькулятором спокойно всё посчитает. Ему безразлично, сколько тут слагаемых – техника со всем справится.
А ученик без калькулятора, которому не понравятся громоздкие вычисления, может задаться вопросом: а нет ли способа посчитать попроще?
Этот вопрос и есть главный драйвер развития математического мышления. Отсутствие калькулятора позволяет задуматься над более эффективными способами решения задачи.
Счётная машина позволяет очень долго решать задачи в лоб простыми нажатиями клавиш. Но в какой-то момент ученик расшибает этот самый лоб о якобы слишком сложную вычислительную задачу. Для которой нужен иной математический принцип, который нужно было усвоить сильно раньше...
В нашей же задаче с рублями очевидно, что нужно посчитать отдельно монеты по 10 руб., по 5 руб., по 2 руб. и посчитать значение выражения 10⋅3 + 5⋅4 + 2⋅3.
При подсчёте важно задумываться над тем, как быстрее и эффективнее действовать. И разумнее всего здесь складывать одинаковое, благо мы знаем про суть умножения и уже умеем умножать в пределах ТУ.
Необязательно «удобное» = «одинаковое».
Например, 231+546+769+123+454.
Ученик с калькулятором вообще не поймёт, про что это задача. Он заточен на последовательные действия. И мыслит в линейной парадигме, не задумываясь над задачей в целом. «Вижу цель, не вижу препятствий». Нет причины разбить задачу на составляющие и пересобрать её.
Хотя на самом деле нужно было разглядеть 231+769=1000 и 546 + 454 = 1000, что даёт в итоге ответ 1000 + 1000 + 123 = 2123.
Предвижу возражения: «Но ведь в реальности такие удобные числа мы не будем складывать! Если взять произвольные пять чисел, то удобнее использовать калькулятор. А все эти ваши трюки – это для математических гиков. Нашим детям некогда считать, им нужно развивать математическое мышление. Например, логическими задачами. А весь этот счёт для геометрии и алгебры потом не пригодится».
Про алгебру ещё поговорим ниже, развивая дальше эту последовательность задач.
Смысл этих упражнений не столько в том, чтобы складывать придуманные удобные числа. Смысл ещё и в том, чтобы ученик задавался вопросом об эффективном решении, а также смотрел на задачу комплексно. А вот это и есть самое что ни на есть математичное в математике.
Дальше может возникнуть задача 231⋅5 + 769⋅5.
Например, если в одной копилке скопилось 231 пятирублёвая монета, а в другой 769 таких монет. Вопрос тот же: сколько всего в них денег?
Можно посчитать сколько денег в каждой копилке и сложить результаты. А можно мысленно их пересыпать в одну копилку (сложить 231 и 769) и умножить на 5. Это также доступно для счёта в уме.
Используя этот принцип, можно далее использовать не пятирублёвые, а фантастические «сорокапятирублёвые» монеты и посчитать 231⋅45 + 769⋅45.
Так постепенно мы выходим на задания вроде 23⋅15 + 47⋅85 + 77⋅15 + 53⋅85.
В них мы уже группируем нужные нам произведения друг с другом, выискивая лучшие комбинации слагаемых.
А ребёнок с калькулятором всё так же щёлкает по клавишам, не особо раздумывая над задачей... Пока в 7 классе внезапно не появляются задания на группировку и разложение на множители: 7xy + 9аx + 35by + 45ab.
И вот здесь уже калькулятор бессилен. Точнее ученику расскажут, что у него нематематический склад ума, что он «гуманитарий», и дадут в руки Photomath. Алгебра для него закрыта.
Следующая задача: вычислить 5000 - 3548.
Задание вызывает трудности при вычислении столбиком. Тут много нужно занимать, возникают неприятные девятки, которые путают учеников. На калькуляторе – дело пары нажатий клавиш.
Но у безкалькуляторных детей может возникнуть всё тот же вопрос: а можно ли действовать как-то иначе?
Да, как ни странно, можно.
Эту задачу нужно просто переформулировать: «Какое число нужно прибавить к 3548, чтобы в итоге получилось 5000 руб.?»
И такая задача по опыту решается учениками гораздо легче.
Так через счёт в подобной задаче мы внедряем важные элементы математического мышления:
а) трудную задачу можно переформулировать так, чтобы она стала проще;
б) добавлять к чему-либо гораздо проще, чем вычитать.
Но это работает тогда, когда у ученика формируется запрос на такую переформулировку.
Ребёнку с калькулятором бесполезно рассказывать, что на эту задачу можно посмотреть по-другому.
Он не будет никуда смотреть, он смотрит только в экран.
Он привык к алгоритмам и умеет работать только по ним. Да и то, теперь даже не сам....
Можно рассмотреть ещё много задач, которые могут решать якобы только дети с математическим складом ума.
Например, «3, 6, 9, 12, 15 и т.д.; какое число будет 10-м по счёту? а 30-м? а 101-м?».
Здесь разве тоже нужно идти по порядку, считая последовательно на калькуляторе?
Или всё же нужно задуматься над умножением?
Однако, перечисленного хватает, чтобы подвести некоторые итоги:
а) Арифметический счёт – это не просто следование алгоритмам. Это ещё и критический взгляд на любую задачу. Взгляд сверху. Взгляд дальше, за задачу.
б) Внедрение калькуляторов настолько отучает учеников размышлять, настолько они привыкают к алгоритмам, что даже умножение на 0 и деление на 1 делают при помощи них.
в) Мозг ленив, а калькулятор потакает этой лени. Он не будет чему-то обучаться, когда знает, что в любой момент на экзамене можно воспользоваться техникой.
Сравните: когда ученик быстрее выучит таблицу умножения – когда она у него будет перед глазами или когда у него её нет?
Со всеми остальными навыками работает та же аналогия.
Я как-то четыре года работал в школе для детей-инвалидов и сирот, где встречал учеников, которые не умеют читать.
Когда эти дети, среди которых встречались даже 14-16-летние парни, встречали интересную им информацию в текстовом виде, они её не читали и даже не пытались научиться читать. Они просто копировали её на страничку в Google и нажимали на кнопку автоматической озвучки. И потом просто слушали зачитываемый текст.
И чтобы сделать шаги для обучения чтению, нужно было сначала отказаться от такой практики.
Ведь зачем учиться читать, если есть такие инструменты? Если смартфон может уже прочесть всё за человека...
г) Школьник с калькулятором теряет связь с реальностью и начинает неадекватно оценивать свои вычислительные и математические навыки. Ученик думает, что он хорошо считает, раз у него под рукой всегда есть вычислительная техника.
Примерно как люди, которые считают себя эрудированными, образованными и начитанными, если они умеют пользоваться интернет-поисковиками.
д) Когда в руках молоток, всё вокруг кажется гвоздями. Школьники верят во всесилие одного инструмента, полностью на него полагаются и отключают критическое мышление. Потом они же будут искать в будущей жизни сходный внешний чудо-инструмент и попадать во власть инфоцыган и мошенников.
е) Калькулятор блокирует возможность догоняющей математики.
Существует огромный пласт учеников 7-9 классов, которые имеют низкий уровень знания математики. Вплоть до того, что они не знают таблицу умножения и не умеют складывать в пределах сотни. Их возможно вытащить из трясины математического непонимания, и начинать нужно именно с вычислений. Именно через них потом проще всего объяснить решение задач. Но калькулятор блокирует навык считать и делает невозможным дальнейшую работу, ставя крест на таких учениках.
