Задача: Сторона правильного шестиугольника равна 1. Найдите сторону квадрата, вершины которого лежат на четырёх сторонах шестиугольника, а стороны параллельны диагоналям шестиугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Продлим AB и CD до пересечения в точке G. ∠GBC =180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°, ∠GCB = 180° - ∠BCD = 180° - 120° = 60° ⇒ △BGC - равносторонний ⇒ BG = CG = BC = 1. (см рисунок)
По св-у правильного шестиугольника противоположные стороны параллельны большей диагонали ⇒ BC∥AD. Поскольку по условию MN∥AD, то BC∥MN, тогда ∠GMN = ∠GNM = 60° как односторонние с ∠ABC и ∠BCD при пересечении BC∥MN секущими AB и CD ⇒ △MGN - равносторонний ⇒ MG = NG = MN = x.
CN = NG - CN = x - 1. ND = CD - CN = 1 - (x - 1) = 2 - x. Аналогично DK = 2 - x.
В △NDK по теореме косинусов:
(2-x)^2 +(2-x)^2 - 2 * (2-x) * (2-x) * cos 120° = x^2
2(2-x)^2 + (2-x)^2 = x^2
3(2-x)^2 = x^2
3(4 - 4x + x^2) = x^2
12 - 12x + 3x^2 = x^2
2x^2 - 12x + 12 = 0 | :2
x^2 - 6x + 6 = 0
D = √(36 - 24) = √12 = 2√3
x1 = (6 - 2√3)/2 = 3 - √3
x2 = (6 - 2√3)/2 = 3 + √3
По вышедок. CN = x - 1 и ND = 2 - x, поскольку длина отрезка всегда положительна, то x - 1 > 0; x>1 и 2 - x > 0; x<2. Тогда корень уравнения 3 + √3 не удовлетворяет условие ⇒ x = 3 - √3.
Ответ: 3 - √3.
Задача решена.