Задача: К двум окружностям с радиусами 3 и 7 проведены одна внешняя и две внутренние общие касательные. Найдите расстояние от точки пересечения внутренних касательных до внешней касательной.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём прямую OO1, пусть D - точка пересечения прямой OO1 с касательной a. OO1 пройдёт через точку A, так как обе окружности вписаны в равные вертикальные углы, и их центры лежат на биссектрисе этих углов.
Также проведём радиусы OM и O1N в точки касания окружностей с касательной b (см рисунок)
Образовавшиеся прямоугольные треугольники △OMA ~ △O1NA по I признаку подобия треугольников (∠MAO = ∠NAO) ⇒ OA/O1A = OM/O1N = 3/7 ⇒ 3O1A = 7OA; O1A = 7OA/3. Тогда OO1 = OA + O1A = OA + 7OA/3 = 10OA/3 ⇒ OA = OO1 * 3/10.
Прямоугольные треугольники △DHA ~ △DBO ~ △DCO1 по I признаку подобия треугольников (∠B - общий) ⇒ OD/O1D = OB/O1C = 3/7, пусть OD = 3y, тогда O1D = 7y и OO1 = 4y ⇒ OA = OO1 * 3/10 = 4y * 3/10 = 1,2y.
Из подобия △DHA ~ △DCO1 следует:
AD/O1D = x/7
(3y + 1,2y)/7y = x/7
4,2y/7y = x/7
4,2/7 = x/7 | * 7
x = 4,2
Ответ: 4,2.
Задача решена.