Задача: Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке O. Через эту точку проводят прямую, параллельную её основаниям. Эта прямая пересекает продолжения диагоналей трапеции в точках M K. Найдите длину отрезка MK, если основания трапеции равны a и b.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим △ACD и △KCO:
- ∠COK= ∠CDA (как накрест лежащие при пересечении OK∥AD секущей OD)
- ∠ACD = ∠KCO (как вертикальные)
⇒ △ACD ~ △KCO по I признаку подобия треугольников ⇒ OK/b = OC/CD ⇒ OK = b * OC/CD.
Рассмотрим △AOD и △BOC:
- ∠OCB= ∠ODA (как соответственные при пересечении BC∥AD секущей OD)
- ∠AOD - общий
⇒ △AOD ~ △BOC по I признаку подобия треугольников ⇒ a/b = OC/OD ⇒ OC = a * OD/b.
Итак, OK = b * OC/CD и OC = a * OD/b, подставим значение OC в первое выражение:
OK = (b * a * OD/b)/CD
OK = a * OD/(OD - CD)
OK = a * OD/(OD - a * OD/b)
OK = a * OD/(OD(1 - a/b))
OK = a/(1 - a/b)
OK = a/((b - a)/b)
OK = ab/(b-a)
Проведём ON, по замечательному св-у трапеции, BP = CP = a/2 (см рисунок)
Поскольку образующие стандартное положение "пирамида", △BPN ~ △MON и △CPN ~ △KON по I признаку подобия треугольников ⇒ BP/MO = NP/ON и CP/OK = NP/ON ⇒
BP/OM = CP/OK
OK/OM = CP/BP
OK/OM = (a/2)/(a/2)
OK/OM = 1
OK = OM
MK = OM + OK = ab/(b-a) + ab/(b-a) = 2ab/(b-a).
Ответ: 2ab/(b-a).
Задача решена.