Задача: Две прямые, проходящие через концы меньшего основания трапеции параллельно её боковым сторонам, пересекают диагонали трапеции в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если меньшее основание трапеции равно a, а большее — b.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим △BNM ~△DBC:
- ∠MBN = ∠BDC (как накрест лежащие при пересечении BM∥CD секущей BD)
- ∠MNB = ∠CBD (как накрест лежащие при пересечении BC∥MN секущей BN)
⇒ △BNM ~△DBC по I признаку подобия треугольников ⇒ MN/BC = BM/CD; MN/a = BM/CD ⇒ MN = a * BM/CD.
Рассмотрим △CMB и △ACD:
- ∠BCM = ∠CAD (как накрест лежащие при пересечении BC∥AD секущей AC)
- ∠BMC = ∠ACD (как накрест лежащие при пересечении BM∥CD секущей MC)
⇒ △CMB ~△ACD по I признаку подобия треугольников ⇒ BC/AD = BM/CD; a/b = BM/CD.
Итак, MN = a * BM/CD и BM/CD = a/b ⇒ MN = a * a/b = (a^2)/b.
Ответ: (a^2)/b.
Задача решена.
