Задача по Геометрии. 9 класс. Подобие треугольников. №10

Задача: Два квадрата, изображённые на рисунке, имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков АВ и СD.

©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.

Решение:

Пусть сторона мéньшего квадрата равна x, тогда сторона бо́льшего квадрата равна kx. Проведём диагонали AE и EB, тогда AE = x√2 и EB = kx√2.

Рассмотрим △AEB и △CED:

1. ∠AEB = ∠CED (∠AEB = ∠AEF + ∠FED + ∠DEB = 45° +∠FED+ 45° = ∠FED + 90°; ∠CED = ∠CEF + ∠FED = ∠FED + 90°)
2. AE/CE = EB/ED = √2

⇒ △AEB ~ △CED по II признаку подобия треугольников ⇒ AB : CD = AE : CE = √2 : 1.

Ответ: √2 : 1.

Задача решена.