Задача: Два квадрата, изображённые на рисунке, имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков АВ и СD.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть сторона мéньшего квадрата равна x, тогда сторона бо́льшего квадрата равна kx. Проведём диагонали AE и EB, тогда AE = x√2 и EB = kx√2.
Рассмотрим △AEB и △CED:
- ∠AEB = ∠CED (∠AEB = ∠AEF + ∠FED + ∠DEB = 45° +∠FED+ 45° = ∠FED + 90°; ∠CED = ∠CEF + ∠FED = ∠FED + 90°)
- AE/CE = EB/ED = √2
⇒ △AEB ~ △CED по II признаку подобия треугольников ⇒ AB : CD = AE : CE = √2 : 1.
Ответ: √2 : 1.
Задача решена.