Задача: Окружность касается боковых сторон треугольника, а её центр лежит на его основании. Найдите радиус окружности, если высоты треугольника, опущенные на боковые стороны, равны 2 и 3.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём радиусы OK и OL в точки касания окружности со сторонами треугольника AB и BC соответственно (см рисунок)
Рассмотрим прямоугольные △AKO и △AMC:
- ∠A - общий
⇒ △AKO ~ △AMC по I признаку подобия треугольников ⇒ OK/CM = AO/AC, то есть r/3 = AO/AC ⇒ r = 3AO/AC.
Рассмотрим прямоугольные △CLO и △CKA:
- ∠C - общий
⇒ △CLO ~ △CKA по I признаку подобия треугольников ⇒ OL/AK = CO/AC, то есть r/2 = CO/AC ⇒ r = 2CO/AC.
Итак, r = 3AO/AC и r = 2CO/AC, приравняем правые части выражении:
3AO/AC = 2CO/AC | *AC
3AO = 2CO
CO = 1,5AO
AC = AO + CO = AO + 1,5AO = 2,5AO, тогда r = 3AO/AC= 3AO/2,5AO = 6/5 = 1,2.
Ответ: 1,2.
Задача решена.
