Задача: В треугольник вписан полукруг так, что полуокружность касается основания, а его диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Найдите радиус этого полукруга, если основание треугольника равно a, а высота, проведённая к нему, равна h.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Из центра полукруга проведём радиус OK в точку касания со стороной AC, тогда OK⟂AC ⇒ OK∥BH, поскольку BH⟂AC. Четырёхугольник MOKH - параллелограмм по определению, так как MO∥HK по условию и OK∥BH ⇒ MH = OK = r, тогда BM = BH - MH = h - r (см рисунок)
Рассмотрим △NBL и △ABC:
- ∠B - общий
- ∠BNL = ∠BAC (как соответственные при пересечении NL∥AC и секущей AB)
⇒ △NBL ~ △ABC по I признаку подобия ⇒ BM/BH = NL/AC, то есть (h-r)/h = 2r/a. Выразим r:
(h-r)/h = 2r/a
2hr = a(h-r)
2hr = ah - ar
2hr + ar = ah
r(2h +a) = ah
r = ah/(2h + a)
Ответ: ah/(2h + a).
Задача решена.