Задача: На стороны BC и CD параллелограмма ABCD из тупого угла А опустили перпендикуляры AM и AN. Докажите, что треугольники MAN и ABC подобны.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим острый угол параллелограмма за α. В прямоугольном △AMB: AM = AB * sin α. В прямоугольном △AND: AN = AD * sin α (см рисунок)
∠MAN = ∠BAD - ∠BAM - ∠NAD = (180° - α) - (90° - α) - (90° - α) = 180° - α - 90° + α - 90° + α = α.
Рассмотрим треугольники △MAN и △BAC:
- ∠MAN = ∠ABC (по вышедок.)
- MA/AB = AN/AD = 1/sinα
⇒ △MAN ~ △BAC по II признаку подобия трегольников.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
