Задача: Две окружности с радиусами 2 и 5 вписаны в угол и касаются друг друга. Найдите радиус третьей окружности, вписанной в тот же угол и проходящей через центр большей из них.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Поскольку все три окружности вписаны в один и тот же угол, то центры всех трёх окружностей лежат на одной прямой. Из центров окружностей проведём радиусы в точки касания (см рисунок)
Образовавшиеся прямоугольные треугольники △MH1O1, △MH2O2 и △MH3O3 подобны по I признаку подобия, поскольку ∠H3MO3 - общий для всех трёх треугольников.
Рассмотрим пропорциональность сторон треугольников △MH1O1 и △MH2O2:
MO1/MO2 = 2/5
5 * MO1 = 2 * MO2
5 * MO1 = 2(MO1 + 7) | (O1O2 = 7 - сумма радиусов окружностей O1 и O2)
5 * MO1 = 2 * MO1 + 14
3 * MO1 = 14
MO1 = 14/3
Рассмотрим пропорциональность сторон треугольников △MH1O1 и △MH3O3:
(14/3)/(35/3 + r) = 2/r
14r/3 = 70/3 + 2r | * 3
14r = 70 + 6r
8r = 70
r = 70/8
r = 8,75
Ответ: 8,75.
Задача решена.
