Задача: Параллельно основаниям трапеции провели прямую, которая пересекает её диагонали. Докажите, что отрезки этой прямой, заключённые между боковыми сторонами трапеции и её диагоналями, равны.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме о пропорциональных отрезках BM/AM = CP/PD = k. Тогда BM = k * AM и CP = k * PD.
Рассмотрим △AMN и △ABC:
- ∠AMN = ∠ABC (как соответственные при пересечении MN∥BC секущей BA)
- ∠BAC - общий
⇒ △AMN ~ △ABC по I признаку подобия треугольников ⇒ AM/AB = MN/BC ⇒ MN = (AM * BC)/AB = (AM * BC)/(AM + BM) = (AM * BC)/(AM + k * AM) = (AM * BC)/(AM(k+1)) = BC/(k+1).
Рассмотрим △DPK и △DCB:
- ∠DPK = ∠DCB (как соответственные при пересечении PK∥BC секущей DC)
- ∠BDC - общий
⇒ △DPK ~ △DCB по I признаку подобия треугольников ⇒ PD/DC = PK/BC ⇒ PK = (PD * BC)/DC = (PD * BC)/(PD + CD) = (PD * BC)/(PD + k * PD) = (PD*BC)/(PD(k+1)) = BC/(k+1).
Итак, MN = BC/(k+1) и PK = BC/(k+1) ⇒ MN = PK.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.