Рассмотрим четырёхугольник ABCD, продолжения сторон AB и CD которого пересекаются в точке E, а продолжения сторон AD и BC - в точке F. Отметим середины диагоналей AC и BD этого четырёхугольника и середину отрезка EF (точки T, P и N, соответственно). Тогда точки T, P и N лежат на одной прямой, которую называют прямой Гаусса:
Заметим, что на рисунке изображён выпуклый четырёхугольник ABCD, но утверждение верно также и для невыпуклого. Докажем это утверждение. Для этого отметим середины сторон AE, ED и DA треугольника AED (точки L, M и K, соответственно):
Заметим, что точки L, M и N лежат на одной прямой, так как LM - средняя линия треугольника AED, а LN - средняя линия треугольника AEF, обе они параллельны прямой AF и проходят через точку L. Аналогично, точки L, T и K лежат на одной прямой, и точки K, P и M также лежат на одной прямой.
Запишем теперь теорему Менелая для треугольника AED и секущей BC (1):
Из подобия треугольников KPD и ABD следует, что AB/KP = BD/PD. Так как подобны также треугольники DPM и DBE, причём с тем же коэффициентом подобия, так как у этих пар треугольников есть совпадающие сходственные стороны (PD и BD), то это равенство можно продолжить: AB/KP = BD/PD = BE/PM. То есть AB/KP = BE/PM или AB/BE = KP/PM. Аналогично доказывается, что EC/CD = LT/TK и DF/FA = MN/NL.
Заменяем теперь все отношения в равенстве (1) с помощью полученных формул и приходим к следующему равенству:
Получили соотношение, применённое к треугольнику KLM и секущей TP. Значит, по теореме, обратной теореме Менелая, точки T, P и N лежат на одой прямой (прямой Гаусса). Что и требовалось доказать.
Если вам требуется подтянуть геометрию, можете обращаться ко мне. Я являюсь профессиональным репетитором по математике и физике и готов организовать для вас соответствующие занятия. Мои контакты вы найдёте на сайте: https://yourtutor.info/.
