Данный метод является основным методом расчёта электрических цепей. Для его освоения нужно иметь отчётливое представление о том, что такое ветвь, узел и независимый контур, уметь выявлять их на схеме и уметь составлять уравнения по Первому и Второму законам Кирхгофа для данных конкретных узлов и контуров.
Метод узловых и контурных уравнений позволяет рассчитать цепь с любым количеством источников э.д.с. и с любым способом соединения элементов.
Сложная электрическая цепь - электрическая цепь, содержащая более одного источника э.д.с.
Реальные источники электрической энергии всегда имеют некоторое внутреннее сопротивление. Поэтому при замене реального источника энергии на идеальный источник э.д.с. следует учитывать это внутреннее сопротивление путём включения идеального резистора (резистивного элемента) последовательно с источником э.д.с. в схеме замещения (см. рис. ниже).
Внутреннее сопротивление источника энергии будем обозначать маленькой буквой r.
При расчёте цепи методом узловых и контурных токов следует придерживаться следующего алгоритма:
- подсчитать в цепи количество ветвей (В) и узлов (У), обозначить токи;
- произвольно расставить на схеме направление токов;
- выделить и обозначить на схеме независимые контуры;
- выбрать направление обхода контуров (например, по часовой стрелке);
- составить уравнения по Первому закону Кирхгофа для (У-1) узлов;
- составить по Второму закону Кирхгофа для независимых контуров (В-(У-1)) уравнение;
- Решить полученную систему уравнений и найти значения неизвестных токов.
Покажем на примере применение данного метода расчёта электрических цепей.
Пример
Определите все токи в цепи, изображённой на схеме ниже методом узловых и контурных уравнений.
Решение
Будем решать эту задачу согласно алгоритму, приведённому выше.
1. Подсчитаем в цепи количество ветвей и узлов, обозначим токи.
Данная цепь имеет три ветви (на чертеже ниже обозначены разными цветами). Первую ветвь образуют резистор R3, внутреннее сопротивление источника r1 и источник э.д.с., по этой ветви протекает ток I13; вторую ветвь образуют источник э.д.с., внутреннее сопротивление источника r2 и резистор R4, по этой ветви протекает ток I24; третью ветвь образуют резисторы R5 и R6, по этой ветви протекает ток I56. Сколько ветвей столько и токов в цепи.
Узел - это место соединения трёх и более ветвей. В нашей схеме два узла (выделены цветом).
2. Расставим на схеме направления токов (их можно направить куда угодно, то есть произвольно).
3. Выделим и обозначим римскими цифрами на схеме независимые контуры. Их два. Первый контур образуют R3-E2-r2-R4-E1-r1. Второй контур - R5-R6-R4-r2-E2:
4. Выберем направления обхода контуров (по часовой стрелке).
5. Ранее мы выяснили, что в данной схеме два узла и три ветви: У=2, В=3. Составим по Первому закону Кирхгофа У-1 уравнение, то есть 2-1=1 - одно уравнение.
По Первому закону Кирхгофа составим уравнение для узла А. В данном узле соединяются три ветви, по которым текут три тока. Все токи являются втекающими в данный узел (направлены к узлу), поэтому берём их всех со знаком плюс. Сумма этих токов равна нулю.
6. Составим уравнения по Второму закону Кирхгофа для независимых контуров. Всего по этому закону нужно составить (В-(У-1)) уравнение, то есть 3-(2-1)=2 уравнения.
Первый контур содержит четыре сопротивления. Ток, протекающий через данные сопротивлениям вызывает на них четыре падения напряжения. При этом, если ток через некоторый резистор протекает встречно направлению обхода контура, то вызываемое этим током падение напряжения будет отрицательным.
Ток I13 течёт по направлению обхода контура, поэтому падение напряжения, вызванное этим током на r1 и R3 будет положительным. Ток I24 направлен встречно обходу контура, следовательно, падения напряжения на сопротивлениях r2 и R4, вызванные этим током, будут отрицательными.
Сумма падений напряжений равна сумме э.д.с. В первом контуре два источника э.д.с. Стрелки в них направлены вдоль выбранного пути обхода контура, поэтому эти э.д.с. оба берутся со знаком плюс.
Получаем следующее уравнение по Второму закону Кирхгофа для первого контура:
I13 и I24 являются общими множителями, вынесем их за скобки:
Теперь составим уравнение по Второму закону Кирхгофа для второго контура. Будем обходить контур по часовой стрелке. На резисторах R5 и R6 ток I56 вызывает отрицательное падение напряжения, так как направлен встречно обходу контура. А ток I24 направлен по пути обхода контура и, значит, вызывает положительные падения напряжения на резисторах R4 и r2. Э.д.с. направлена встречно обходу контура, поэтому она будет отрицательной.
7. По Первому и Второму законам Кирхгофа мы составили следующую систему уравнений:
Решим полученную систему уравнений и найдём значения неизвестных токов. Для этого вместо букв, обозначающих сопротивления и э.д.с., подставим числа из дано. Затем из второго уравнения выразим I13 через I24, а из третьего уравнения так же через I24 выразим I56:
Теперь в первом уравнении системы подставим вместо I13 и I56 правые части второго и третьего уравнений:
Ток I24 получился отрицательным. Это значит, что на самом деле он направлен в другую сторону, то есть от узла А к узлу В. Зная ток I24, можно теперь вычислить оставшиеся два тока.
Ток I56 так же получился отрицательным, поэтому на самом деле он течёт от узла А к узлу В.
Запишем ответ.
Ответ
Задание
Определите все токи в схеме для своего варианта. Внутренним сопротивлением источников питания пренебречь.
