Степень - это основное понятие в алгебре, которое позволяет возводить число или переменную в натуральную степень. В данной статье мы рассмотрим определение степени, ее свойства и предоставим доказательства некоторых из них.
1. Определение степени:
Степень обозначает количество раз, которое необходимо умножить число (или переменную) на себя. Степень обычно обозначается с помощью верхнего индекса. Например, число x в степени n записывается как x^n. Если степень равна 1, то получаем само число или переменную без изменений, то есть x^1 = x.
2. Свойства степеней:
- Свойство 1: x^m x^n = x^(m + n)
Данное свойство позволяет перемножить два числа с одной и той же основой и сложить их степени. Например, 3^2 3^3 = 3^(2 + 3) = 3^5.
- Свойство 2: (x^m)^n = x^(m n)
Позволяет возвести число в степень, а затем возвести результат в новую степень, что эквивалентно умножению степеней. Например, (2^3)^2 = 2^(3 2) = 2^6.
- Свойство 3: x^m / x^n = x^(m - n)
Позволяет разделить два числа с одной и той же основой и вычесть их степени. Например, 10^4 / 10^2 = 10^(4 - 2) = 10^2.
- Свойство 4: (x * y)^n = x^n * y^n
Позволяет возвести произведение двух чисел в степень, что эквивалентно возведению каждого из них в эту степень и их умножению. Например, (5 3)^2 = 5^2 3^2 = 25 9.
- Свойство 5: x^0 = 1
Любое число, возведенное в степень 0, равно 1. Например, 7^0 = 1.
3. Доказательства свойств степеней:
- Для доказательства свойства 1, предположим, что x > 0. Тогда x^m x^n = (x x ... x) (x x ... x) = x^(m + n), где количество произведений равно m + n.
- Доказательство свойства 2 основывается на индукции. При базовом шаге мы показываем, что утверждение верно для n = 1. В индукционном предположении предполагается, что это верно для некоторого n = k. Далее, используя свойство 1, доказываем, что утверждение верно для n = k + 1.
- Свойство 3 доказывается аналогично свойству 1, только здесь необходимо использовать деление вместо умножения.
- Свойство 4 можно доказать, заметив, что x^m y^m = (x x ... x) (y y ... y) = (x y) (x y) ... (x y) = (x y)^m.
- Доказательство свойства 5 тривиально, так как x^0 = 1 независимо от основания x.
В заключение, степень - это важное понятие в алгебре, предоставляющее возможность возводить числа или переменные в натуральные степени. Существуют различные свойства степеней, которые позволяют выполнять различные действия с ними. Доказательства данных свойств основываются на логических рассуждениях и математической индукции.