Задача: Точка E делит сторону BC параллелограмма ABCD на отрезки с длинами 4 и 6, при этом AE = ED. Найдите отрезок AE, если AB = 5.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
CD = AB = 5 по св-у параллелограмма. △AED - равнобедренный по определению ⇒ ∠EAD = ∠EDA по св-у р/б треугольника, обозначим их углами α.
∠BEA = ∠EAD = α как накрест лежащие при пересечении параллельных AD и BC секущей AE. В △AEB по теореме косинусов:
x^2 + 4^2 - 2 * 4 * x * cos α = 5^2
x^2 + 16 - 8x * cos α = 25
x^2 - 8x * cos α = 9
∠DEC = ∠EDA = α как накрест лежащие при пересечении параллельных AD и BC секущей ED. В △DEC по теореме косинусов:
x^2 + 6^2 - 2 * 6 * x * cos α = 5^2
x^2 + 36 - 12x * cos α = 25
x^2 - 12x * cos α = -11
Составим систему уравнений:
x^2 - 8x * cos α = 9 | * 1,5
x^2 - 12x * cos α = -11 | * (-1)
1,5x^2 - 12x * cos α = 13,5
-x^2 + 12x * cos α = 11
Сложим уравнения:
0,5x^2 = 24,5 | * 2
x^2 = 49
x = 7, так как x>0
Ответ: 7.
Задача решена.
