Математические софизмы — это коварные ловушки для разума, которые возникают в самых фундаментальных аспектах математики. Они вытекают из нарушения логических правил или неправильного применения математических концепций. Софизмы показывают нам, что даже в такой строгой дисциплине как математика могут возникнуть парадоксы и противоречия. В этом мире математических софизмов числа могут превращаться в бесконечности, доказательства становятся неверными, а логика — кажется, подводит. Поиск ошибок в софизмах помогает лучше понять законы математики и логики, а также предупреждает повторение этих ошибок в собственных рассуждениях.
Рассмотрим пару занимательных софизмов. Прежде чем прочесть разъяснения к ним, попробуйте сами найти подвох :)
Пример 1: любые два числа равны.
Пусть a и b не равны. Напишем тождество: - a = b - (а + b) и - b = a - (а + b).
Так как (-а)*b=а*(-b), то [b - (a + b)]*b = [а - (a + b)]*а. Раскрыв квадратные скобки, будем иметь: b^2 - (a + b)*b = a^2 - (a + b)*а. Прибавив к каждой части равенства ((a+b)/2)^2 , дополним их до квадрата разности двух чисел:
(b - (a+b)/2)^2 = (a - (a+b)/2)^2.
Из равенства квадратов двух чисел делаем вывод о равенстве оснований:
b - (a+b)/2 = a - (a+b)/2, откуда a = b.
Что не так: здесь допущена ошибка в обращении суждения: «Если основания равны, то и квадраты их равны». Из этого суждения мы непосредственно заключили, что «если квадраты равны, то и основания равны». На самом деле, имеет место немного другое суждение: «Если квадраты равны, то основания могут быть равны», поскольку равны квадраты не только равных чисел, но и чисел, равных только по модулю.
Пример 2: Сумма катетов равна гипотенузе.
В прямоугольном треугольнике АВС с катетами а, b и гипотенузой с разделим последнюю на две равные части. Из точки деления опустим перпендикуляры на катеты. Заметим, что длина полученной ломаной линии AEFDB равна сумме катетов а + b. Если взять теперь точки К и L в середине отрезков AF и FB, то c помощью такого же построения получим ломаную АМKNFPLQB, длина которой равна той же сумме катетов. Наконец, мы можем бесконечно продолжать этот процесс, однако длина каждой из последовательно образованных ломаных линий будет оставаться неизменной. Но, с другой стороны, по мере возрастания числа своих звеньев ломаная все более и более приближается к гипотенузе треугольника. В самом деле, так как длины отрезков, составляющих ломаные линии, неограниченно уменьшаются, а их концы неограниченно приближаются к гипотенузе, то выходит, что ломаная стремится к слиянию с гипотенузой. Но тогда пределом длины ломаной служит длина гипотенузы. Однако одна и та же величина не может иметь двух пределов, а потому остается положить, что с = a + b.
Что не так: в приведенном рассуждении допущен произвольный вывод: из стремления ломаной слиться с гипотенузой нет оснований заключать, что пределом длины ломаной является длина гипотенузы. Это предположение осталось необоснованным. Обосновать его и нельзя, так как оно ложно. В самом деле, мы здесь не можем применить понятие предела: разность между переменной величиной, в частном случае постоянной (длина ломаной), и ее предполагаемым пределом (гипотенузой) не является ни бесконечно малой величиной, ни ее частным случаем — нулем.
