Задача: В треугольник со сторонами 5, 6 и 7 вписана окружность. Найдите расстояние x от точки её касания со стороной длины 6 до противоположной вершины треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
(Алгебраический способ решения)
По теореме об отрезках касательной AM=AK; BK=BN; CM=CN. Пусть AM = a, тогда AK = a. Рассмотрим отрезок AB: KB = AB-AK = 5-a ⇒ BN = 5-a. Рассмотрим отрезок BC: CN = BC-BN = 7 -(5-a) = a+2 ⇒ MC = a+2. Рассмотрим отрезок AC: MC = AC - AM = 6 - a (см рисунок)
Поскольку MC = 6 - a и MC = a+2, то 6-a = a+2 ⇒ a=2 ⇒ AM = 2.
В △ABC: по выражению косинусов углов треугольника через его стороны: cos∠BAC = (5^2 + 6^2 - 7^2)/(2*5*6) = 12/60 = 1/5.
В △BAM: по теореме косинусов x = √(5^2 + 2^2 - 2 * 5 * 2 * cos∠BAC) = √(25 + 4 - 20 * 1/5) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Задача решена.
