Задача: В равнобедренный треугольник со сторонами 8, 8 и 11 вписана окружность. Найдите расстояние от точки её касания с боковой стороной треугольника до противоположной вершины.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич
Решение:
(Геометрический способ решения)
По теореме об отрезках касательной AM=AN; BM=BK; CK=CN. Сумма всех данных отрезков равна периметру треугольника ⇒ отрезки равных касательных, взятые по одному разу, в сумме дают полупериметр треугольника △ABC, то есть AM+BK+KC = p. Однако поскольку BK + KC = BC, то AM = p - BC ⇒ AM = (8+8+11)/2 - 8 = 13,5 - 8 = 5,5. (для вычислении будем использовать дробь 11/2)
В △ABC по выражению косинусов углов треугольника через его стороны: cos∠BAC = (8^2 + 11^2 - 8^2)/(2*8*11) = 11/16.
В △CAM: по теореме косинусов CM = √(5,5^2 + 11^2 - 2 * 5,5 * 11 * cos∠BAC) = √((11/2)^2 + 121 - 2 * 11/2 * 11 * 11/16) = √(121/4 + 121 - 1331/16) = √((484+1936-1331)/16) = √(1089/16) = √1089/√16 = 33/4 = 8,25.
Ответ: 8,25.
Задача решена.