Задача: Три отрезка с длинами 2, 5 и 6 имеют один конец и образуют друг с другом углы 120°. Найдите наибольший угол треугольника с вершинами в других концах этих отрезков.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим треугольники △AMB, △BMC и △AMC и теореме косинусов найдём стороны большего треугольника △ABC:
- △AMB: AB = √(5^2 +6^2 - 2* 5* 6 * cos 120°) = √(25 + 36 + 30) = √91
- △BMC: BC = √(5^2 + 2^2 - 2 * 5 * 2 * cos 120°) = √(25 + 4 + 10) = √39
- △AMC: AC = √(2^2 + 6^2 - 2 * 2 * 6 * cos 120°) = √(4 +36 +12) = √52
Наибольшим углом будет являться ∠BCA, так как он лежит напротив большей стороны. По выражению косинусов углов треугольника через его стороны:
cos ∠BCA = ((√39)^2 + (√52)^2 - (√91)^2)/(2 * √52 * √39)
cos ∠BCA = (39 + 52 - 91)/(2 * √52 * √39)
cos ∠BCA = 0/(2 * √52 * √39)
cos ∠BCA = 0
По таблице значений cos 90° = 0 ⇒ ∠BCA = 90°
(Также можно было воспользоваться обратной теоремой Пифагора: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный)
Ответ: 90°.
Задача решена.
