ОДОБРЕНА решением федерального
учебно-методического объединения
по общему образованию
(протокол от 15 сентября 2022 г. № 6/22)
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
АДАПТИРОВАННОЙ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ
С ЗАДЕРЖКОЙ ПСИХИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА4
Общая характеристика учебного предмета «Математика»4
Цели и задачи изучения учебного предмета «Математика»6
Особенности отбора и адаптации учебного материала по математике7
Примерные виды деятельности обучающихся с ЗПР, обусловленные
особыми образовательными потребностями и обеспечивающие
осмысленное освоение содержании образования по предмету
«Математика»10
Место учебного предмета «Математика» в учебном плане10
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«МАТЕМАТИКА». 5–6 КЛАССЫ12
Цели изучения учебного курса12
Место учебного курса в учебном плане14
Содержание учебного курса (по годам обучения)14
КЛАСС14
КЛАСС15
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА». 7–
9 КЛАССЫ18
Цели изучения учебного курса18
Место учебного курса в учебном плане19
Содержание учебного курса (по годам обучения)19
КЛАСС19
КЛАСС21
КЛАСС21
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ».
7–9 КЛАССЫ23
Цели изучения учебного курса23
Место учебного курса в учебном плане23
Содержание учебного курса (по годам обучения)23
КЛАСС23
КЛАСС24
КЛАСС25
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» 7–9 КЛАССЫ26
Цели изучения учебного курса26
Место учебного курса в учебном плане27
Содержание учебного курса (по годам обучения)27
КЛАСС27
КЛАСС27
КЛАСС28
Примерные контрольно-измерительные материалы28
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«МАТЕМАТИКА» НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ32
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ32
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ32
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ33
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «МАТЕМАТИКА» . 34
5 КЛАСС34
КЛАСС35
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «АЛГЕБРА»37
КЛАСС37
КЛАСС39
КЛАСС40
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ»41
КЛАСС41
КЛАСС42
КЛАСС43
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И
СТАТИСТИКА»44
КЛАСС44
КЛАСС44
КЛАСС45
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ46
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Примерная рабочая программа по математике для обучающихся с
задержкой психического развития (далее – ЗПР) на уровне основного общего
образования подготовлена на основе Федерального государственного
образовательного стандарта основного общего образования (Приказ
Минпросвещения России от 31.05.2021 г. № 287, зарегистрирован
Министерством юстиции Российской Федерации 05.07.2021 г., рег. номер 64101)
(далее – ФГОС ООО), Примерной адаптированной основной образовательной
программы основного общего образования обучающихся с задержкой
психического развития (одобренной решением ФУМО по общему образованию
(протокол от 18 марта 2022 г. № 1/22)) (далее – ПАООП ООО ЗПР), Примерной
рабочей программы основного общего образования по предмету «Математика»,
Примерной программы воспитания, с учетом распределенных по классам
проверяемых требований к результатам освоения Адаптированной основной
образовательной программы основного общего образования обучающихся с
задержкой психического развития. В рабочей программе учтены идеи и
положения Концепции развития математического образования в Российской
Федерации.
Общая характеристика учебного предмета «Математика»
Учебный предмет «Математика» входит в предметную область
«Математика и информатика». Он способствует развитию вычислительной
культуры и логического мышления, формированию умения пользоваться
алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в
повседневной жизни обучающихся с ЗПР. Учебный предмет развивает
мышление, пространственное воображение, функциональную грамотность,
умения воспринимать и критически анализировать информацию,
представленную в различных формах.
Обучение математике даёт возможность развивать у обучающихся с ЗПР
точную, рациональную и информативную речь, умение отбирать наиболее
подходящие языковые, символические, графические средства для выражения
суждений и наглядного их представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании
является общее знакомство с методами познания действительности,
представление о предмете и методах математики, их отличий от методов других
естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики
для решения научных и прикладных задач. Таким образом, математическое
образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.
Изучение математики также способствует эстетическому воспитанию
человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений,
восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии.
Программа отражает содержание обучения предмету «Математика» с
учетом особых образовательных потребностей обучающихся с ЗПР. Овладение
учебным предметом «Математика» представляет определенную сложность для
учащихся с ЗПР. У обучающихся с ЗПР наиболее выражены отставания в
развитии словесно-логических форм мышления, поэтому абстрактные и
отвлеченные категории им труднодоступны. В тоже время при специальном
обучении обучающиеся могут выполнять задания по алгоритму. Они
восприимчивы к помощи, могут выполнить перенос на аналогичное задание
усвоенного способа решения. Снижение развития мыслительных операций и
замедленное становление логических действий приводят к недостаточной
осмысленности совершаемых учебных действий. У обучающихся затруднены
счетные вычисления, производимые в уме. В письменных вычислениях они
могут пропускать один из промежуточных шагов. При работе с числовыми
выражениями, вычислением их значения могут не удерживать правильный
порядок действий. При упрощении, преобразовании выражений учащиеся с ЗПР
не могут самостоятельно принять решение о последовательности выполнения
действий. Конкретность мышления осложняет усвоения навыка решения
уравнений, неравенств, системы уравнений. Им малодоступно совершение
обратимых операций.
Низкий уровень развития логических операций, недостаточная
обобщенность мышления затрудняют изучение темы «Функции»: при
определении функциональной зависимости, при описании графической
ситуации, используя геометрический, алгебраический, функциональный языки.
Нередко учащиеся не видят разницы между областью определения функции и
областью значений.
Решение задач сопряжено с трудностями оформления краткой записи,
проведения анализа условия задачи, выделения существенного. Обучающиеся с
ЗПР затрудняются сделать умозаключение от общего к частному, нередко
выбирают нерациональные способы решения, иногда ограничиваются
манипуляциями с числами.
При изучении геометрического материала обучающиеся с ЗПР
сталкиваются с трудностью делать логические выводы, строить
последовательные рассуждения. Непрочные знания основных теорем геометрии
приводит к ошибкам в решении геометрических задач. Обучающиеся могут
подменить формулу, неправильно применить теорему. К серьезным ошибкам в
решении задач приводят недостаточно развитые пространственные
представления. Им сложно выполнить чертеж к условию, в письменных работах
они не могут привести объяснение к чертежу.
Точность запоминания и воспроизведения учебного материала снижены по
причине слабости мнестической деятельности, сужения объема памяти.
Обучающимся с ЗПР требуется больше времени на закрепление материала,
актуализация знаний по опоре при воспроизведении.
Для преодоления трудностей в изучении учебного предмета «Математика»
необходима адаптация объема и характера учебного материала к
познавательным возможностям учащихся с ЗПР. Следует учебный материал
преподносить небольшими порциями, усложняя его постепенно, изыскивать
способы адаптации трудных заданий, некоторые темы давать как
ознакомительные; исключать отдельные трудные доказательства; теоретический
материал рекомендуется изучать в процессе практической деятельности по
решению задач. Органическое единство практической и умственной
деятельности учащихся на уроках математики способствуют прочному и
сознательному усвоению базисных математических знаний и умений.
Цели и задачи изучения учебного предмета «Математика»
Приоритетными целями обучения математике в 5–9 классах являются:
формирование центральных математических понятий (число, величина,
геометрическая фигура, переменная, вероятность, функция),
обеспечивающих преемственность и перспективность математического
образования обучающихся с ЗПР;
подведение обучающихся с ЗПР на доступном для них уровне к осознанию
взаимосвязи математики и окружающего мира, понимание математики как
части общей культуры человечества;
развитие интеллектуальных и творческих способностей обучающихся с
ЗПР, познавательной активности, исследовательских умений, критичности
мышления, интереса к изучению математики;
формирование функциональной математической грамотности: умения
распознавать проявления математических понятий, объектов и
закономерностей в реальных жизненных ситуациях и при изучении других
учебных предметов, проявления зависимостей и закономерностей,
формулировать их на языке математики и создавать математические
модели, применять освоенный математический аппарат для решения
практико-ориентированных задач, интерпретировать и оценивать
полученные результаты.
Достижение этих целей обеспечивается решением следующих задач:
формировать у обучающихся с ЗПР навыки учебно-познавательной
деятельности: планирование работы, поиск рациональных путей ее
выполнения, осуществления самоконтроля;
способствовать интеллектуальному развитию, формировать качества,
необходимые человеку для полноценной жизни в современном обществе,
свойственные математической деятельности: ясности и точности мысли,
интуиции, пространственных представлений, способности к преодолению
трудностей;
формировать ключевые компетенции учащихся в рамках предметной
области «Математика и информатика»;
развивать понятийное мышления обучающихся с ЗПР;
осуществлять коррекцию познавательных процессов обучающихся с ЗПР,
необходимых для освоения программного материала по учебному
предмету;
предусматривать возможность компенсации образовательных дефицитов в
освоении предшествующего программного материала у обучающихся с
ЗПР и недостатков в их математическом развитии;
сформировать устойчивый интерес учащихся к предмету;
выявлять и развивать математические и творческие способности.
Основные линии содержания курса математики в 5–9 классах: «Числа и
вычисления», «Алгебра» («Алгебраические выражения», «Уравнения и
неравенства»), «Функции», «Геометрия» («Геометрические фигуры и их
свойства», «Измерение геометрических величин»), «Вероятность и статистика».
Данные линии развиваются параллельно, каждая в соответствии с собственной
логикой, однако не независимо одна от другой, а в тесном контакте и
взаимодействии. Кроме этого, их объединяет логическая составляющая,
традиционно присущая математике и пронизывающая все математические курсы
и содержательные линии. Сформулированное в Федеральном государственном
образовательном стандарте основного общего образования требование «уметь
оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство; умение
распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и
контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний» относится ко
всем курсам, а формирование логических умений распределяется по всем годам
обучения на уровне основного общего образования.
Содержание образования, соответствующее предметным результатам
освоения Примерной рабочей программы, распределённым по годам обучения,
структурировано таким образом, чтобы ко всем основным, принципиальным
вопросам обучающиеся обращались неоднократно, чтобы овладение
математическими понятиями и навыками осуществлялось последовательно и
поступательно, с соблюдением принципа преемственности, а новые знания
включались в общую систему математических представлений обучающихся с
ЗПР, расширяя и углубляя её, образуя прочные множественные связи. Общие
цели изучения учебного предмета «Математика» представлены в Примерной
рабочей программе основного общего образования.
Особенности отбора и адаптации учебного материала по математике
Обучение учебному предмету «Математика» строится на создании
оптимальных условий для усвоения программного материала обучающимися с
ЗПР. Большое внимание уделяется отбору учебного материала в соответствии с
принципом доступности при сохранении общего базового уровня, который
должен по содержанию и объему быть адаптированным для обучающихся с ЗПР в
соответствии с их особыми образовательными потребностями. Следует
облегчить овладение материалом обучающимися с ЗПР посредством его
детального объяснения с систематическим повтором, многократной тренировки
в применении знаний, используя приемы актуализации (визуальная опора,
памятка).
Примерная программа предусматривает внесение некоторых изменений:
уменьшение объема теоретических сведений, вынесение отдельных тем или
целых разделов в материалы для обзорного, ознакомительного изучения.
Изменения программы в 5–9 классах
Математика в 5 и 6 классах
В ознакомительном плане рекомендуется изучать следующие темы:
«Римская нумерация», «Равные фигуры», «Цилиндр, конус, шар», «Куб»,
«Прямоугольный параллелепипед», «Перемещение по координатной прямой»,
«Модуль числа», «Числовые промежутки»; «Масштаб» (изучается в курсе
«География»); «Изображение геометрических фигур на нелинованной бумаге с
использованием циркуля, линейки, угольника, транспортира», «Длина
окружности», «Площадь круга», «Параллельные прямые», «Перпендикулярные
прямые», «Осевая и центральная симметрии» (изучается в курсе геометрии);
«Бесконечные периодические десятичные дроби. Десятичное приближение
обыкновенной дроби» (изучается в курсе алгебры).
Следует уменьшить количество часов на следующие темы: «Решение
логический задач», «Длина отрезка», «Шкалы», «Распределительный закон
умножения», «Запись произведения с буквенными множителями», «Построение
конфигураций из частей прямой, окружности на нелинованной и клетчатой
бумаге», «Делители и кратные. Признаки делимости», «Наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное. Делимость суммы и произведения».
«Приведение дроби к новому знаменателю», «Нахождение части целого и целого
по его части». «Округление десятичных дробей». «Решение задач перебором
всех возможных вариантов». «Составление буквенных выражений по условию
задачи». Высвободившиеся часы можно использовать на повторение (в начале и
конце учебного года), на изучение наиболее трудных и значимых тем: в V классе
– на решение уравнений, приведение дроби к новому знаменателю, умножение и
деление десятичных дробей, измерение углов; в VI классе – действия с
положительными и отрицательными числами, решение уравнений, сложение и
вычитание чисел, содержащих целую и дробную часть, на умножение и деление
обыкновенных дробей.
Алгебра
В ознакомительном плане рекомендуется изучать следующие темы:
«Иррациональные числа. Действительные числа», «Сравнение действительных
чисел, арифметические действия с действительными числами», «Нахождение
приближенных значений квадратного корня», «Теорема Виета», «Решения
уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на множители», «Функция у
=√х и ее график», «Погрешность и точность приближения», «Четные и
нечетные функции», «Функция у=хn», «Функция у= ах2, ее график и свойства.
Графики функций у= ах2 + n и у=а(х-m)2, «Уравнение с двумя переменными и его
график», «Графический способ решения системы уравнений», «Изображение
членов арифметической и геометрической прогрессий точками на координатной
плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты».
Следует уменьшить количество часов на изучение тем: «Формулы»,
«Доказательство тождеств», «Линейное уравнение с двумя неизвестными»,
«График линейного уравнения с двумя переменными», «Графическое решение
линейных уравнений и систем линейных уравнений», «Свойства квадратичной
функции».
Высвободившиеся часы рекомендуется использовать: для лучшей
проработки наиболее важных тем курса: «Решение уравнений», «Решение
систем уравнений», «Совместные действия с дробями», «Применение свойств
арифметического квадратного корня»; на повторение, решение задач,
преобразование выражений, а также на закрепление изученного материала.
Геометрия
Следует основное внимание уделить практической направленности курса,
исключив и упростив наиболее сложный для восприятия теоретический
материал. На уроках геометрии необходимо максимально использовать
наглядные средства обучения, больше проводить практических работ с
учащимися, решать задачи. Строить решение задач при постоянном обращении
к наглядности – рисункам и чертежам.
Ознакомительно дать темы: «Теоремы и доказательство. Аксиомы»,
«Доказательство от противного», «Существование и единственность
перпендикуляра к прямой», «Метод геометрических мест», «Метод удвоения
медианы», «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках», «Центр
масс треугольника», «Изменение тригонометрических функций при возрастании
угла», «Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей
правильных многоугольников», «Уравнение прямой», «Движение», «Свойства
движения», «Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении
отрезков секущих, теорема о квадрате касательной».
Следует уменьшить количество часов на изучение тем: «Симметричные
фигуры. Основные свойства осевой симметрии», «Центральная симметрия»,
«Параллельный перенос», «Поворот», «Преобразование подобия. Подобие
соответственных элементов», «Основные задачи на построение с помощью
циркуля и линейки», «Декартовы координаты на плоскости», «Решение
треугольников», «Подобие фигур».
Высвободившиеся часы использовать на решение задач и повторение.
Вероятность и статистика
В связи с тем, что данный курс вызывает наибольшие сложности для
обучающихся с ЗПР, связанные со сниженным уровнем развития словесно-
логического мышления, его изучение должно строиться на базовом уровне и
доступном для учеников материале. Основное внимание следует уделить
разделам, связанными с повторением пройденного материала, увеличить
количество упражнений и заданий, связанных с практической деятельностью
обучающихся.
Необходимо пересмотреть содержание теоретического материала и
характер его изложения: теоретический материал преподносить в процессе
решения задач и выполнения заданий наглядно-практического характера; не
требовать вывода и запоминания сложных формул, решения нестандартных,
трудоёмких заданий. Ряд тем следует изучать в ознакомительном плане.
Примерная программа предоставляет автору рабочей программы свободу в
распределении материала по четвертям (триместрам). Распределение времени на
изучение тем в течение учебного года самостоятельно определяется
образовательной организацией и зависит от особенностей группы обучающихся с
ЗПР и их особых образовательных потребностей.
Примерные виды деятельности обучающихся с ЗПР, обусловленные
особыми образовательными потребностями и обеспечивающие
осмысленное освоение содержании образования по предмету
«Математика»
Содержание видов деятельности обучающихся с ЗПР определяется их
особыми образовательными потребностями. Помимо широко используемых в
ООП ООО общих для всех обучающихся видов деятельности следует усилить
виды деятельности специфичные для данной категории детей, обеспечивающие
осмысленное освоение содержания образования по предмету: усиление
предметно-практической деятельности с активизацией сенсорных систем;
чередование видов деятельности, задействующих различные сенсорные
системы; освоение материала с опорой на алгоритм; «пошаговость» в изучении
материала; использование дополнительной визуальной опоры (схемы, шаблоны,
опорные таблицы); речевой отчет о процессе и результате деятельности;
выполнение специальных заданий, обеспечивающих коррекцию регуляции
учебно-познавательной деятельности и контроль собственного результата.
Примерная тематическая и терминологическая лексика соответствует
ООП ООО.
Для обучающихся с ЗПР существенным являются приемы работы с
лексическим материалом по предмету. Проводится специальная работа по
введению в активный словарь обучающихся соответствующей терминологии.
Изучаемые термины вводятся на полисенсорной основе, обязательна визуальная
поддержка, алгоритмы работы с определением, опорные схемы для актуализации
терминологии.
Место учебного предмета «Математика» в учебном плане
В соответствии с Федеральным государственным образовательным
стандартом основного общего образования учебный предмет «Математика»
входит в предметную область «Математика и информатика» и является
обязательным для изучения. В 5-9 классах учебный предмет «Математика»
традиционно изучается в рамках следующих учебных курсов: в 5-6 классах –
курса «Математика», в 7-9 классах – курсов «Алгебра» (включая элементы
статистики и теории вероятностей) и «Геометрия». Настоящей программой
вводится самостоятельный учебный курс «Вероятность и статистика».
Настоящей программой предусматривается выделение в учебном плане на
изучение математики в 5–6 классах 5 учебных часов в неделю в течение каждого
года обучения, в 7–9 классах 6 учебных часов в неделю в течение каждого года
обучения, всего 952 учебных часа.
Содержание учебного предмета «Математика», представленное в
Примерной рабочей программе, соответствует ФГОС ООО, Примерной
основной образовательной программе основного общего образования,
Примерной адаптированной основной образовательной программе основного
общего образования обучающихся с задержкой психического развития.
Тематическое планирование учебных курсов и рекомендуемое
распределение учебного времени для изучения отдельных тем, предложенные в
настоящей программе, надо рассматривать как примерные ориентиры в помощь
составителю авторской рабочей программы и прежде всего учителю. Автор
рабочей программы вправе увеличить предложенное число учебных часов на
темы, требующие более длительного изучения обучающимися с ЗПР, или
уменьшить количество часов на темы, изучаемые на ознакомительном уровне.
Допустимо также локальное перераспределение и перестановка элементов
содержания внутри данного класса. Количество проверочных работ
(тематический и итоговый контроль качества усвоения учебного материала) и их
тип (самостоятельные и контрольные работы, тесты) остаются на усмотрение
учителя. Также учитель вправе увеличить или уменьшить число учебных часов,
отведённых в Примерной рабочей программе на обобщение, повторение,
систематизацию знаний обучающихся. Единственным, но принципиально
важным критерием, является достижение результатов обучения, указанных в
настоящей программе.
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«МАТЕМАТИКА». 5–6 КЛАССЫ
Цели изучения учебного курса
Приоритетными целями обучения математике в 5–6 классах являются:
продолжение формирования основных математических понятий (число,
величина, геометрическая фигура), обеспечивающих преемственность и
перспективность математического образования обучающихся;
развитие интеллектуальных и творческих способностей обучающихся c
ЗПР, познавательной активности, исследовательских умений, интереса к
изучению математики;
подведение обучающихся с ЗПР на доступном для них уровне к осознанию
взаимосвязи математики и окружающего мира;
формирование функциональной математической грамотности: умения
распознавать математические объекты в реальных жизненных ситуациях,
применять освоенные умения для решения практико-ориентированных
задач, интерпретировать полученные результаты и оценивать их на
соответствие практической ситуации.
Основные линии содержания курса математики в 5–6 классах –
арифметическая и геометрическая, которые развиваются параллельно, каждая в
соответствии с собственной логикой, однако, не независимо одна от другой, а в
тесном контакте и взаимодействии. Также в курсе происходит знакомство с
элементами алгебры и описательной статистики.
Изучение арифметического материала начинается со систематизации и
развития знаний о натуральных числах, полученных в начальной школе. При
этом совершенствование вычислительной техники и формирование новых
теоретических знаний сочетается с развитием вычислительной культуры, в
частности с обучением простейшим приёмам прикидки и оценки результатов
вычислений. Изучение натуральных чисел продолжается в 6 классе знакомством с
начальными понятиями теории делимости.
Другой крупный блок в содержании арифметической линии – это дроби.
Начало изучения обыкновенных и десятичных дробей отнесено к 5 классу. Это
первый этап в освоении дробей, когда происходит знакомство с основными
идеями, понятиями темы. При этом рассмотрение обыкновенных дробей в
полном объёме предшествует изучению десятичных дробей, что целесообразно с
точки зрения логики изложения числовой линии, когда правила действий с
десятичными дробями можно обосновать уже известными алгоритмами
выполнения действий с обыкновенными дробями. Знакомство с десятичными
дробями расширит возможности для понимания обучающимися прикладного
применения новой записи при изучении других предметов и при практическом
использовании. К 6 классу отнесён второй этап в изучении дробей, где
происходит совершенствование навыков сравнения и преобразования дробей,
освоение новых вычислительных алгоритмов, оттачивание техники вычислений,
в том числе значений выражений, содержащих и обыкновенные, и десятичные
дроби, установление связей между ними, рассмотрение приёмов решения задач
на дроби. В начале 6 класса происходит знакомство с понятием процента.
Особенностью изучения положительных и отрицательных чисел является
то, что они также могут рассматриваться в несколько этапов. В 6 классе в начале
изучения темы «Положительные и отрицательные числа» выделяется подтема
«Целые числа», в рамках которой знакомство с отрицательными числами и
действиями с положительными и отрицательными числами происходит на
основе содержательного подхода. Это позволяет на доступном уровне
познакомить учащихся практически со всеми основными понятиями темы, в том
числе и с правилами знаков при выполнении арифметических действий.
Изучение рациональных чисел на этом не закончится, а будет продолжено в
курсе алгебры 7 класса, что станет следующим проходом всех принципиальных
вопросов, тем самым разделение трудностей облегчает восприятие материала, а
распределение во времени способствует прочности приобретаемых навыков.
При обучении решению текстовых задач в 5—6 классах используются
арифметические приёмы решения. Текстовые задачи, решаемые при отработке
вычислительных навыков в 5—6 классах, рассматриваются задачи следующих
видов: задачи на движение, на части, на покупки, на работу и
производительность, на проценты, на отношения и пропорции. Кроме того,
обучающиеся знакомятся с приёмами решения задач перебором возможных
вариантов, учатся работать с информацией, представленной в форме таблиц или
диаграмм.
В Примерной рабочей программе предусмотрено формирование
пропедевтических алгебраических представлений. Буква как символ некоторого
числа в зависимости от математического контекста вводится постепенно.
Буквенная символика широко используется прежде всего для записи общих
утверждений и предложений, формул, в частности для вычисления
геометрических величин, в качестве «заместителя» числа.
В курсе «Математики» 5–6 классов представлена наглядная геометрия,
направленная на развитие образного мышления, пространственного
воображения, изобразительных умений. Это важный этап в изучении геометрии,
который осуществляется на наглядно-практическом уровне, опирается на
наглядно-образное мышление обучающихся. Большая роль отводится
практической деятельности, опыту, эксперименту, моделированию.
Обучающиеся знакомятся с геометрическими фигурами на плоскости и в
пространстве, с их простейшими конфигурациями, учатся изображать их на
нелинованной и клетчатой бумаге, рассматривают их простейшие свойства. В
процессе изучения наглядной геометрии знания, полученные обучающимися в
начальной школе, систематизируются и расширяются.
Место учебного курса в учебном плане
Согласно учебному плану в 5–6 классах изучается интегрированный
предмет «Математика», который включает арифметический материал и
наглядную геометрию, а также пропедевтические сведения из алгебры, элементы
логики и начала описательной статистики.
Учебный план на изучение математики в 5–6 классах отводит не менее 5
учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, всего не менее 340
учебных часов.
Содержание учебного курса (по годам обучения)
КЛАСС
Натуральные числа и нуль
Натуральное число. Ряд натуральных чисел. Число 0. Изображение
натуральных чисел точками на координатной (числовой) прямой.
Позиционная система счисления. Римская нумерация как пример
непозиционной системы счисления1. Десятичная система счисления.
Сравнение натуральных чисел, сравнение натуральных чисел с нулём.
Способы сравнения. Округление натуральных чисел.
Сложение натуральных чисел; свойство нуля при сложении. Вычитание
как действие, обратное сложению. Умножение натуральных чисел; свойства
нуля и единицы при умножении. Деление как действие, обратное умножению.
Компоненты действий, связь между ними. Проверка результата
арифметического действия. Переместительное и сочетательное свойства
(законы) сложения и умножения, распределительное свойство (закон)
умножения.
Использование букв для обозначения неизвестного компонента и записи
свойств арифметических действий.
Делители и кратные числа, разложение на множители. Простые и
составные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9. Деление с остатком.
Степень с натуральным показателем. Запись числа в виде суммы
разрядных слагаемых.
Числовое выражение. Вычисление значений числовых выражений;
порядок выполнения действий. Использование при вычислениях
переместительного и сочетательного свойств (законов) сложения и умножения,
распределительного свойства умножения.
Дроби
Представлениеодробикакспособезаписичастивеличины.
Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанная дробь;
1 Здесь и далее курсивом обозначены темы, изучение которых проводится в ознакомительном плане. Педагог
самостоятельно определяет объем изучаемого материала.
представление смешанной дроби в виде неправильной дроби и выделение целой
части числа из неправильной дроби. Изображение дробей точками на числовой
прямой. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дроби к
новому знменателю. Сравнение дробей.
Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей; взаимно-
обратные дроби. Нахождение части целого и целого по его части.
Десятичная запись дробей. Представление десятичной дроби в виде
обыкновенной. Изображение десятичных дробей точками на числовой прямой.
Сравнение десятичных дробей.
Арифметические действия с десятичными дробями. Округление
десятичных дробей.
Решение текстовых задач
Решение текстовых задач арифметическим способом. Решение логических
задач. Решение задач перебором всех возможных вариантов. Использование при
решении задач таблиц и схем.
Решение задач, содержащих зависимости, связывающие величины:
скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость. Единицы измерения:
массы, объёма, цены; расстояния, времени, скорости. Связь между единицами
измерения каждой величины.
Решение основных задач на дроби.
Представление данных в виде таблиц, столбчатых диаграмм.
Наглядная геометрия
Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок,
луч, угол, ломаная, многоугольник, окружность, круг. Угол. Прямой, острый,
тупой и развёрнутые углы.
Длина отрезка, метрические единицы длины. Длина ломаной, периметр
многоугольника. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
Наглядные представления о фигурах на плоскости: многоугольник;
прямоугольник, квадрат; треугольник, о равенстве фигур.
Изображение фигур, в том числе на клетчатой бумаге. Построение
конфигураций из частей прямой, окружности на нелинованной и клетчатой
бумаге. Использование свойств сторон и углов прямоугольника, квадрата.
Площадь прямоугольника и многоугольников, составленных из
прямоугольников, в том числе фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
Единицы измерения площади.
Наглядные представления о пространственных фигурах: прямоугольный
параллелепипед, куб, многогранники. Изображение простейших многогранников.
Развёртки куба и параллелепипеда. Создание моделей многогранников (из
бумаги, проволоки, пластилина и др.).
Объём прямоугольного параллелепипеда, куба. Единицы измерения объёма.
КЛАСС
Натуральные числа
Арифметические действия с многозначными натуральными числами.
Числовые выражения, порядок действий, использование скобок. Использование
при вычислениях переместительного и сочетательного свойств сложения и
умножения, распределительного свойства умножения. Округление натуральных
чисел.
Делители и кратные числа; наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное. Делимость суммы и произведения. Деление с остатком.
Дроби
Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей.
Сравнение и упорядочивание дробей. Решение задач на нахождение части от
целого и целого по его части. Дробное число как результат деления.
Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и возможность
представления обыкновенной дроби в виде десятичной. Десятичные дроби и
метрическая система мер. Арифметические действия и числовые выражения с
обыкновенными и десятичными дробями.
Отношение. Деление в данном отношении. Масштаб, пропорция.
Применение пропорций при решении задач.
Понятие процента. Вычисление процента от величины и величины по её
проценту. Выражение процентов десятичными дробями. Решение задач на
проценты. Выражение отношения величин в процентах.
Положительные и отрицательные числа
Положительные и отрицательные числа. Целые числа. Модуль числа,
геометрическая интерпретация модуля числа. Изображение чисел на
координатной прямой. Числовые промежутки.
Сравнение чисел. Арифметические действия с положительными и
отрицательными числами.
Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точки на
плоскости, абсцисса и ордината. Построение точек и фигур на координатной
плоскости.
Буквенные выражения
Применение букв для записи математических выражений и предложений.
Свойства арифметических действий. Буквенные выражения и числовые
подстановки. Буквенные равенства, нахождение неизвестного компонента.
Формулы; формулы периметра и площади прямоугольника, квадрата, объёма
параллелепипеда и куба.
Решение текстовых задач
Решение текстовых задач арифметическим способом. Решение логических
задач. Решение задач перебором всех возможных вариантов.
Решение задач, содержащих зависимости, связывающих величины:
скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость; производительность,
время, объём работы. Единицы измерения: массы, стоимости; расстояния,
времени, скорости. Связь между единицами измерения каждой величины.
Решение задач, связанных с отношением, пропорциональностью величин,
процентами; решение основных задач на дроби и проценты.
Оценка и прикидка, округление результата.
Составление буквенных выражений по условию задачи.
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Столбчатые
диаграммы: чтение и построение. Чтение круговых диаграмм.
Наглядная геометрия
Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок,
луч, угол, ломаная, многоугольник, четырёхугольник, треугольник, окружность,
круг.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости, параллельные прямые,
перпендикулярные прямые. Измерение расстояний: между двумя точками, от
точки до прямой; длина маршрута на квадратной сетке.
Измерение и построение углов с помощью транспортира. Виды
треугольников: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный;
равнобедренный,равносторонний.Четырёхугольник,примеры
четырёхугольников. Прямоугольник, квадрат: использование свойств сторон,
углов, диагоналей. Изображение геометрических фигур на нелинованной бумаге
с использованием циркуля, линейки, угольника, транспортира. Построения на
клетчатой бумаге.
Периметр многоугольника. Понятие площади фигуры; единицы измерения
площади. Приближённое измерение площади фигур, в том числе на квадратной
сетке. Приближённое измерение длины окружности, площади круга.
Симметрия: центральная, осевая и зеркальная симметрии. Построение
симметричных фигур.
Наглядные представления о пространственных фигурах: параллелепипед,
куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар и сфера. Изображение
пространственных фигур. Примеры развёрток многогранников, цилиндра и
конуса. Создание моделей пространственных фигур (из бумаги, проволоки,
пластилина и др.).
Понятие объёма; единицы измерения объёма. Объём прямоугольного
параллелепипеда, куба.
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА». 7–
9 КЛАССЫ
Цели изучения учебного курса
Алгебра является одним из опорных курсов основной школы: она
обеспечивает изучение других дисциплин, как естественнонаучного, так и
гуманитарного циклов, её освоение необходимо для продолжения образования и в
повседневной жизни. Развитие у обучающихся научных представлений о
происхождении
и сущности алгебраических абстракций, способе отражения математической
наукой явлений и процессов в природе и обществе, роли математического
моделирования в научном познании и в практике способствует формированию
научного мировоззрения и качеств мышления, необходимых для адаптации в
современном цифровом обществе. Изучение алгебры естественным образом
обеспечивает развитие умения наблюдать, сравнивать, находить
закономерности, требует критичности мышления, способности
аргументированно обосновывать свои действия и выводы, формулировать
утверждения. Освоение курса алгебры обеспечивает развитие логического
мышления обучающихся: они используют дедуктивные и индуктивные
рассуждения, обобщение и конкретизацию, абстрагирование и аналогию.
Обучение алгебре предполагает значительный объём самостоятельной
деятельности обучающихся, поэтому самостоятельное решение задач
естественным образом является реализацией деятельностного принципа
обучения.
В структуре программы учебного курса «Алгебра» основной школы
основное место занимают содержательно-методические линии: «Числа и
вычисления»; «Алгебраические выражения»; «Уравнения и неравенства»;
«Функции». Каждая из этих содержательно-методических линий развивается на
протяжении трёх лет изучения курса, естественным образом переплетаясь и
взаимодействуя с другими его линиями. В ходе изучения курса обучающимся
приходится логически рассуждать, использовать теоретико-множественный
язык. В связи с этим целесообразно включить в программу некоторые основы
логики, пронизывающие все основные разделы математического образования и
способствующие овладению обучающимися основ универсального
математического языка. Таким образом, можно утверждать, что содержательной
и структурной особенностью курса «Алгебра» является его интегрированный
характер.
Содержание линии «Числа и вычисления» служит основой для
дальнейшего изучения математики, способствует развитию у обучающихся
логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а
также приобретению практических навыков, необходимых для повседневной
жизни. Развитие понятия о числе в основной школе связано с рациональными и
иррациональными числами, формированием представлений о действительном
числе. Завершение освоения числовой линии отнесено к старшему звену общего
образования.
Содержание двух алгебраических линий – «Алгебраические выражения» и
«Уравнения и неравенства» способствует формированию у обучающихся
математического аппарата, необходимого для решения задач математики,
смежных предметов и практико-ориентированных задач. В основной школе
учебный материал группируется вокруг рациональных выражений. Алгебра
демонстрирует значение математики как языка для построения математических
моделей, описания процессов и явлений реального мира. В задачи обучения
алгебре входят также дальнейшее развитие алгоритмического мышления,
необходимого, в частности, для освоения курса информатики, и овладение
навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символьных форм вносит
свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к
математическому творчеству.
Содержание функционально-графической линии нацелено на получение
школьниками знаний о функциях как важнейшей математической модели для
описания и исследования разно-образных процессов и явлений в природе и
обществе. Изучение этого материала способствует развитию у обучающихся
умения использовать различные выразительные средства языка математики —
словесные, символические, графические, вносит вклад в формирование
представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.
Место учебного курса в учебном плане
Согласноучебномупланув7–9классахизучаетсяучебныйкурс
«Алгебра», который включает следующие основные разделы содержания:
«Числа и вычисления», «Алгебраические выражения», «Уравнения и
неравенства», «Функции».
Учебный план на изучение алгебры в 7–9 классах отводит не менее 3
учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, всего за три года
обучения – не менее 306 учебных часов.
Содержание учебного курса (по годам обучения)
7 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа
Дроби обыкновенные и десятичные, переход от одной формы записи
дробей к другой. Понятие рационального числа, запись, сравнение,
упорядочивание рациональных чисел. Арифметические действия с
рациональными числами. Решение задач из реальной практики на части, на
дроби.
Степеньснатуральнымпоказателем:определение,преобразование
выражений на основе определения, запись больших чисел.
Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов. Три
основные задачи на проценты, решение задач из реальной практики.
Применениепризнаковделимости,разложениенамножители
натуральных чисел.
Реальныезависимости,втомчислепрямаяиобратная
пропорциональности.
Алгебраические выражения
Переменные, числовое значение выражения с переменной. Допустимые
значения переменных. Представление зависимости между величинами в виде
формулы. Вычисления по формулам.
Преобразование буквенных выражений, тождественно равные выражения,
правила преобразования сумм и произведений, правила раскрытия скобок и
приведения подобных слагаемых.
Свойства степени с натуральным показателем.
Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание,
умножение многочленов. Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и
квадрат разности. Формула разности квадратов. Разложение многочленов на
множители.
Уравнения
Уравнение, корень уравнения, правила преобразования уравнения,
равносильность уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, число корней линейного
уравнения, решение линейных уравнений. Составление уравнений по условию
задачи. Решение текстовых задач с помощью уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график2. Система двух
линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем уравнений
способом подстановки. Примеры решения текстовых задач с помощью систем
уравнений.
Координаты и графики. Функции
Координата точки на прямой. Числовые промежутки. Расстояние между
двумя точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат, оси Ox и Oy. Абсцисса и ордината точки
на координатной плоскости. Примеры графиков, заданных формулами. Чтение
графиков реальных зависимостей.
Понятие функции. График функции. Свойства функций. Линейная функция,
её график. График функции y = kx + b. Графическое решение линейных уравнений
и систем линейных уравнений.
2 Здесь и далее курсивом обозначены темы, изучение которых проводится в ознакомительном плане. Педагог
самостоятельно определяет объем изучаемого материала.
КЛАСС
Числа и вычисления
Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе.
Десятичные приближения иррациональных чисел. Свойства арифметических
квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и
вычислениям. Действительные числа.
Степень с целым показателем и её свойства. Стандартная запись числа.
Алгебраические выражения
Квадратный трёхчлен; разложение квадратного трёхчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби.
Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей.
Рациональные выражения и их преобразование.
Уравнения и неравенства
Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения. Теорема
Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Простейшие
дробно-рациональные уравнения.
Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем
линейных уравнений с двумя переменными. Примеры решения систем
нелинейных уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной.
Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной.
Системы линейных неравенств с одной переменной.
Функции
Понятие функции. Область определения и множество значений функции.
Способы задания функций.
График функции. Чтение свойств функции по её графику. Примеры
графиков функций, отражающих реальные процессы.
Функции,описывающиепрямуюиобратнуюпропорциональные
зависимости, их графики. Функции y = x2, y = x3, y =x, y = 𝑘. Графическое
𝑥
решение уравнений и систем уравнений.
КЛАСС
Числа и вычисления
Действительные числа
Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные
десятичные дроби. Множество действительных чисел; действительные числа
как бесконечные десятичные дроби. Взаимно однозначное соответствие между
множеством действительных чисел и координатной прямой.
Сравнение действительных чисел, арифметические действия с
действительными числами.
Измерения, приближения, оценки
Размерыобъектовокружающегомира,длительностьпроцессовв
окружающем мире.
Приближённое значение величины, точность приближения. Округление
чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.
Уравнения и неравенства
Уравнения с одной переменной
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
Биквадратное уравнение. Примеры решения уравнений третьей и четвёртой
степеней разложением на множители.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Решение текстовых задач алгебраическим методом.
Системы уравнений
Уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем двух
линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем двух уравнений,
одно из которых линейное, а другое — второй степени. Графическая
интерпретация системы уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Неравенства
Числовые неравенства и их свойства.
Решение линейных неравенств с одной переменной. Решение систем
линейных неравенств с одной переменной. Квадратные неравенства.
Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя
переменными.
Функции
Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, координаты
вершины параболы, ось симметрии параболы.
Графикифункций:y = kx,y = kx + b,y = x2,
y =𝑥, y = 𝑘 и их свойства.
𝑥
Числовые последовательности
Определение и способы задания числовых последовательностей
Понятие числовой последовательности. Задание последовательности
рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий
точками на координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост.
Сложные проценты.
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ».
7–9 КЛАССЫ
Цели изучения учебного курса
Общие цели изучения учебного курса «Геометрия» представлены в ПООП
ООО. Они заключаются, прежде всего в том, что на уроках геометрии
обучающийся учится проводить доказательные рассуждения, строить
логические умозаключения, доказывать истинные утверждения и строить
контрпримеры к ложным, проводить рассуждения «от противного», отличать
свойства от признаков, формулировать обратные утверждения. В обучении
умению рассуждать состоит важное воспитательное значение изучения
геометрии, присущее именно отечественной математической школе.
Второй целью изучения геометрии является использование её как
инструмента при решении как математических, так и практических задач,
встречающихся в реальной жизни. Этому соответствует вторая, вычислительная
линия в изучении геометрии в школе. Для этого учителю рекомендуется
подбирать задачи практического характера для рассматриваемых тем, учить
обучающихся строить математические модели реальных жизненных ситуаций,
проводить вычисления и оценивать адекватность полученного результата.
Крайне важно подчёркивать связи геометрии с другими предметами,
мотивировать использовать определения геометрических фигур и понятий,
демонстрировать применение полученных умений в физике и технике. Эти связи
наиболее ярко видны в темах «Векторы», «Тригонометрические соотношения»,
«Метод координат» и «Теорема Пифагора».
Место учебного курса в учебном плане
Согласноучебномупланув7–9классахизучаетсяучебныйкурс
«Геометрия», который включает следующие основные разделы содержания:
«Геометрические фигуры и их свойства», «Измерение геометрических величин»,
а также «Декартовы -координаты на плоскости», «Векторы», «Движения
плоскости» и «Преобразования подобия».
Учебный план предусматривает изучение геометрии на базовом уровне,
исходя из не менее 68 учебных часов в учебном году, всего за три года обучения
– не менее 204 часов.
Содержание учебного курса (по годам обучения)
7 КЛАСС
Начальные понятия геометрии. Точка, прямая, отрезок, луч. Угол. Виды
углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Ломаная,
многоугольник. Параллельность и перпендикулярность прямых.
Симметричные фигуры. Основные свойства осевой симметрии3. Примеры
симметрии в окружающем мире.
Основные построения с помощью циркуля и линейки.
Треугольник. Высота, медиана, биссектриса, их свойства. Равнобедренный
и равносторонний треугольники. Неравенство треугольника.
Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства
треугольников.
Свойства и признаки параллельных прямых. Сумма углов треугольника.
Внешние углы треугольника.
Прямоугольный треугольник. Свойство медианы прямоугольного
треугольника, проведённой к гипотенузе. Признаки равенства прямоугольных
треугольников. Прямоугольный треугольник с углом в 30о.
Неравенства в геометрии: неравенство треугольника, неравенство о длине
ломаной, теорема о большем угле и большей стороне треугольника.
Перпендикуляр и наклонная.
Геометрическое место точек. Биссектриса угла и серединный
перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
Окружность и круг, хорда и диаметр, их свойства. Взаимное расположение
окружности и прямой. Касательная и секущая к окружности. Окружность,
вписанная в угол. Вписанная и описанная окружности треугольника.
КЛАСС
Четырёхугольники. Параллелограмм, его признаки и свойства. Частные
случаи параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и
свойства. Трапеция, равнобокая трапеция, её свойства и признаки.
Прямоугольная трапеция.
Метод удвоения медианы. Центральная симметрия.
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках. Средние линии
треугольника и трапеции. Центр масс треугольника.
Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия
треугольников. Применение подобия при решении практических задач.
Свойства площадей геометрических фигур. Формулы для площади
треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Отношение площадей
подобных фигур.
Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой
бумаге.
ТеоремаПифагора.ПрименениетеоремыПифагораприрешении
практических задач.
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
3 Здесь и далее курсивом обозначены темы, изучение которых проводится в ознакомительном плане. Педагог
самостоятельно определяет объем изучаемого материала.
Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрические функции углов
в 30о, 45о и 60о.
Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой. Углы
между хордами и секущими. Вписанные и описанные четырёхугольники.
Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие
касательные к двум окружностям.
КЛАСС
Синус, косинус, тангенс углов от 0о до 180о. Основное тригонометрическое
тождество. Формулы приведения.
Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов. Решение
практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов.
Преобразование подобия. Подобие соответственных элементов.
Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков
секущих, теорема о квадрате касательной.
Вектор, длина (модуль) вектора, сонаправленные векторы,
противоположно направленные векторы, коллинеарность векторов, равенство
векторов, операции над векторами. Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение
векторов, применение для нахождения длин и углов.
Декартовы координаты на плоскости. Уравнения прямой и окружности в
координатах, пересечение окружностей и прямых. Метод координат и его
применение.
Правильные многоугольники. Длина окружности. Градусная и радианная
мера угла, вычисление длин дуг окружностей. Площадь круга, сектора, сегмента.
Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные
представления). Параллельный перенос. Поворот.
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» 7–9 КЛАССЫ
Цели изучения учебного курса
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают всё
большую значимость, как с точки зрения практических приложений, так и их
роли в образовании. Каждый человек постоянно принимает решения на основе
имеющихся у него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях
недостатка или избытка информации необходимо в том числе хорошо
сформированное вероятностное и статистическое мышление. Именно поэтому
остро встала необходимость сформировать у обучающихся, в том числе
обучающихся с ЗПР, функциональную грамотность, включающую в себя в
качестве неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически
анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей,
производить простейшие вероятностные расчёты. Знакомство с основными
принципами сбора, анализа и представления данных из различных сфер жизни
общества и государства приобщает обучающихся к общественным интересам.
В структуре программы учебного курса «Вероятность и статистика»
основной школы выделены следующие содержательно-методические линии:
«Представление данных и описательная статистика»; «Вероятность»; «Элементы
комбинаторики»; «Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от чтения и
интерпретации информации, представленной в таблицах, на диаграммах и
графиках до сбора, представления и анализа данных с использованием
статистических характеристик средних и рассеивания. Работая с данными,
обучающиеся с ЗПР учатся считывать и интерпретировать данные, выдвигать,
аргументировать и критиковать простейшие гипотезы, размышлять над
факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их влияние на
рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для изучения
теории вероятностей. Большое значение для обучающихся с ЗПР здесь имеют
практические задания, в частности опыты с классическими вероятностными
моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного
события. При изучении курса обучающиеся с ЗПР знакомятся с простейшими
методами вычисления вероятностей в случайных экспериментах с
равновозможными элементарными исходами, вероятностными законами,
позволяющими ставить и решать более сложные задачи. В курс входят
начальные представления о случайных величинах и их числовых
характеристиках.
Также в рамках этого курса осуществляется знакомство обучающихся с
ЗПР с множествами и основными операциями над множествами,
рассматриваются примеры применения для решения задач, а также
использования в других математических курсах и учебных предметах.
Место учебного курса в учебном плане
В 7–9 классах изучается курс «Вероятность и статистика», в который
входятразделы:«Представлениеданныхиописательнаястатистика»;
«Вероятность»; «Элементы комбинаторики»; «Введение в теорию графов».
На изучение данного курса отводит 1 учебный час в неделю в течение
каждого года обучения, всего 102 учебных часа.
Содержание учебного курса (по годам обучения)
7 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых).
Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из диаграмм и
таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе
и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей4.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная
степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в
графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном
графе. Решение задач с помощью графов.
КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Множество, элемент множества, подмножество. Операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций над
множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения.
Использование графического представления множеств для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение
4 Здесь и далее курсивом обозначены темы, изучение которых проводится в ознакомительном плане. Педагог
самостоятельно определяет объем изучаемого материала.
числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события.
Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями.
Случайный выбор. Связь между маловероятными и практически достоверными
событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей
вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило умножения.
Решение задач с помощью графов.
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения
вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения. Независимые
события. Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на
нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента,
диаграмм Эйлера.
КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация
данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия
испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое
ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как теоретического
среднего значения величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины «число успехов в серии испытаний Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.
Примерные контрольно-измерительные материалы
Проведение оценки достижений планируемых результатов освоения
учебного предмета проводится в форме текущего и рубежного контроля в виде:
контрольные работы, самостоятельные работы, зачеты, математические
диктанты, практические работы, письменный ответ по индивидуальным
карточкам-заданиям, тестирование.
Для обучающихся с ЗПР возможно изменение формулировки заданий на
«пошаговую», адаптацию предлагаемого обучающемуся тестового (контрольно-
оценочного) материала: использование устных и письменных инструкций,
упрощение длинных сложных формулировок инструкций, решение с опорой на
алгоритм, образец, использование справочной информации.
Математика
класс
Контрольная работа № 1. Тема. Натуральные числа.
Контрольная работа № 2. Тема. Действия с натуральными числами.
Контрольная работа № 3. Тема. Использование свойств действий при
вычислениях.
Контрольная работа № 4. Тема. Углы и многоугольники.
Контрольная работа № 5. Тема. Делимость чисел.
Контрольная работа № 6. Тема. Обыкновенные дроби.
Контрольная работа № 7. Тема. Сложение и вычитание дробей.
Контрольная работа № 8. Тема. Умножение и деление дробей.
Контрольная работа № 9. Тема. Десятичные дроби. Сравнение десятичных
дробей.
Контрольная работа №10. Действия с десятичными дробями.
Контрольная работа № 11. Тема. Итоговая контрольная работа.
класс
Контрольная работа №1. Тема. Делимость натуральных чисел.
Контрольная работа №2. Тема. Обыкновенная дробь. Основное свойство
дроби.
Контрольная работа №3. Тема. Отношение. Пропорция.
Контрольная работа №4. Тема. Процент.
Контрольная работа №5. Тема. Четырехугольник. Формулы периметра и
площади прямоугольника.
Контрольная работа №6. Тема. Положительные и отрицательные числа.
Сравнение положительных и отрицательных чисел.
Контрольная работа №7. Тема. Сложение и вычитание положительных и
отрицательных чисел.
Контрольная работа №8. Тема. Умножение и деление положительных и
отрицательных чисел.
Контрольнаяработа№9.Тема.Прямоугольнаясистемакоординат.
Диаграммы.
Контрольная работа №10. Тема. Итоговая контрольная работа.
Алгебра
класс
Контрольнаяработа№1.Тема.Арифметическиедействияс
рациональными числами.
Контрольная работа №2. Тема. Степень с натуральным показателем.
Контрольная работа №3. Тема. Буквенные выражения.
Контрольная работа №4. Тема. Многочлены.
Контрольная работа №5. Тема. Формулы сокращенного умножения.
Контрольная работа №6. Тема. Линейное уравнение с одной переменной.
Контрольная работа №7. Тема. Системы линейных уравнений.
Контрольная работа № 8. Тема. Координаты и графики.
Контрольная работа № 9. Тема. Понятие функции. Линейная функция.
Контрольная работа №10. Тема. Итоговая контрольная работа.
класс
Контрольная работа №1. Тема. Квадратный корень. Арифметический
квадратный корень.
Контрольнаяработа№2.Тема.Степеньсцелымпоказателем.
Стандартный вид числа.
Контрольнаяработа№3.Тема.Алгебраическаядробь.Сокращение
дробей.
Контрольная работа №4. Тема. Действия с алгебраическими дробями.
Контрольная работа №5. Тема. Квадратные уравнения.
Контрольная работа №6. Тема. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Текстовые задачи, сводящиеся к квадратным.
Контрольная работа №7. Тема. Системы уравнений.
Контрольная работа №8. Тема. Числовые неравенства и их свойства.
Контрольная работа №9. Тема. Системы неравенств с одной переменной.
Контрольная работа № 10. Тема. Фикции. числовые функции.
Контрольная работа №11. Тема. Итоговая контрольная работа.
класс
Контрольная работа №1. Тема. Числа и вычисления.
Контрольная работа №2. Тема. Уравнения с одной переменной.
Контрольная работа №3. Тема. Дробно-рациональные уравнения.
Контрольная работа №4. Тема. Системы уравнений с двумя переменными.
Контрольная работа №5. Тема. Линейные неравенства с одной переменной.
Контрольная работа №6. Тема. Квадратные неравенства.
Контрольная работа № 7. Тема. Квадратичная функция и ее свойства.
Контрольная работа № 8. Тема. Арифметическая прогрессия.
Контрольная работа № 9. Геометрическая прогрессия.
Контрольная работа №10. Тема. Итоговая контрольная работа.
Геометрия
класс
Контрольнаяработа№1.Тема.Основныегеометрическиесвойства
простейших фигур.
Контрольная работа №2. Тема. Смежные и вертикальные углы.
Контрольная работа №3. Тема. Признаки равенства треугольников.
Контрольная работа №4. Тема. Равнобедренный треугольник.
Контрольная работа №5. Тема. Параллельные прямые.
Контрольная работа №6. Тема. Сумма углов треугольника.
Контрольная работа № 7. Тема. Окружность и круг.
Контрольная работа №6. Тема. Итоговая контрольная работа.
класс
Контрольная работа №1. Тема. Четырехугольники.
Контрольная работа №2. Тема. Средняя линия треугольника. Средняя линия
трапеции.
Контрольная работа №3. Тема. Площадь треугольника, параллелограмма.
Контрольная работа №4. Тема. Площадь подобных фигур.
Контрольная работа №5. Тема. Теорема Пифагора.
Контрольная работа №6. Тема. Углы в окружности.
Контрольная работа №7. Тема. Итоговая контрольная работа
класс
Контрольная работа №1. Тема. Решение треугольников.
Контрольная работа №2. Тема. Площади треугольника, четырехугольника.
Контрольная работа №3. Тема. Векторы.
Контрольная работа №4. Тема. Декартовы координаты на плоскости.
Контрольная работа №5. Тема. Правильные многоугольники.
Контрольная работа №6. Тема. Площадь круга и его частей.
Контрольная работа №7. Тема. Итоговая контрольная работа.
Вероятность и статистика
класс
Контрольная работа №1. Тема. Представление данных.
Контрольная работа №2. Тема. Описательная статистика.
Контрольная работа № 3. Тема. Случайная изменчивость.
Контрольная работа № 4. Тема. Вероятность и частота случайного
события.
класс
Контрольная работа № 1. Тема. Множества.
Контрольная работа №2. Тема. Вероятность случайного события.
Контрольная работа № 3. Тема. Случайные события.
класс
Контрольная работа № 1. Тема. Элементы комбинаторики.
Контрольная работа № 2. Тема. Испытания.
Контрольная работа № 3. Тема. Случайная величина.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«МАТЕМАТИКА» НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:
мотивация к обучению математике и целенаправленной познавательной
деятельности;
повышение уровня своей компетентности через практическую
деятельность, требующую математических знаний, в том числе умение учиться у
других людей;
способность осознавать стрессовую ситуацию, быть готовым действовать
в отсутствие гарантий успеха;
способность обучающихся с ЗПР к осознанию своих дефицитов и
проявление стремления к их преодолению;
способность к саморазвитию, умение ставить достижимые цели;
умение различать учебные ситуации, в которых можно действовать
самостоятельно, и ситуации, где следует воспользоваться справочной
информацией или другими вспомогательными средствами;
способность переносить полученные в ходе обучения знания в актуальную
ситуацию (при решении житейских задач, требующих математических знаний);
способность ориентироваться в требованиях и правилах проведения
промежуточной и итоговой аттестации;
овладение основами финансовой грамотности.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Овладение универсальными учебными познавательными действиями:
устанавливатьпричинно-следственныесвязивходеусвоения
математического материала;
выявлять дефицит данных, необходимых для решения поставленной
задачи;
с помощью учителя выбирать способ решения математической задачи
(сравнивать возможные варианты решения);
применятьипреобразовыватьзнакиисимволывходерешения
математических задач;
устанавливать искомое и данное при решении математической задачи;
понимать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
иллюстрировать решаемые задачи графическими схемами;
эффективно запоминать и систематизировать информацию.
понимать и использовать математические средства наглядности (графики,
диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации,
аргументации.
Овладение универсальными учебными коммуникативными
действиями:
организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с
учителем и сверстниками в процессе решения задач;
взаимодействовать и находить общие способы работы; работать в группе:
находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования
позиций и учёта интересов; слушать партнёра; формулировать, аргументировать
и отстаивать своё мнение;
прогнозировать возникновение конфликтов при наличии разных точек
зрения и разрешать конфликты на основе учёта интересов и позиций всех
участников;
аргументировать свою позицию и координировать её с позициями
партнёров в сотрудничестве при выработке общего решения в совместной
деятельности;
выполнять свою часть работы, достигать качественного результата и
координировать свои действия с другими членами команды;
оценивать качество своего вклада в общий продукт.
Овладение универсальными учебными регулятивными действиями:
ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных
математических проблем;
планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение
задач исследовательского характера.
формулировать и удерживать учебную задачу, составлять план и
последовательность действий;
осуществлять контроль по образцу и вносить необходимые коррективы;
контролировать процесс и результат учебной математической
деятельности;
адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной
задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;
сличать способ действия и его результат с заданным эталоном с целью
обнаружения отклонений и отличий от эталона.
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении учебной
задачи;
понимать причины, по которым не был достигнут требуемый результат
деятельности, определять позитивные изменения и направления, требующие
дальнейшей работы;
регулировать способ выражения эмоций.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Результаты освоения учебного предмета «Математика (включая алгебру,
геометрию, вероятность и статистику)», распределенные по годам обучения,
формулируются по принципу добавления новых результатов от года к году, уже
названные в предыдущих годах позиции, как правило, дословно не повторяются,
ноучитываются(результатыочередногогодапоумолчаниювключают
результаты предыдущих лет).
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «МАТЕМАТИКА» (ПО ГОДАМ
ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Математика» в 5–6 классах основной школы
должно обеспечивать достижение следующих предметных образовательных
результатов:
КЛАСС
Числа и вычисления
Ориентироваться в понятиях и оперировать на базовом уровне терминами,
связанными с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями.
Сравнивать и упорядочивать натуральные числа, сравнивать в простейших
случаях обыкновенные дроби, десятичные дроби.
Соотносить точку на координатной (числовой) прямой с соответствующим
ей числом и изображать натуральные числа точками на координатной (числовой)
прямой.
Выполнять арифметические действия с натуральными числами, с
обыкновенными дробями в простейших случаях.
Выполнять проверку, прикидку результата вычислений.
Округлять натуральные числа.
Решение текстовых задач
Решать текстовые задачи арифметическим способом и с помощью
организованного конечного перебора всех возможных вариантов (при
необходимости с направляющей помощью).
Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины:
скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость (при необходимости с
использованием справочной информации).
Использовать краткие записи, схемы, таблицы, обозначения при решении
задач.
Пользоваться основными единицами измерения: цены, массы; расстояния,
времени, скорости; выражать одни единицы величины через другие (при
необходимости с опорой на справочную информацию).
Извлекать информацию, представленную в таблице, на столбчатой
диаграмме, интерпретировать представленные данные, использовать данные при
решении задач.
Наглядная геометрия
Пользоваться геометрическими понятиями: точка, прямая, отрезок, луч,
угол, многоугольник, окружность, круг.
Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму
изученных геометрических фигур.
Использовать терминологию, при необходимости по визуальной опоре,
связанную с углами: вершина, сторона; с многоугольниками: угол, вершина,
сторона, диагональ; с окружностью: радиус, диаметр, центр.
Изображать изученные геометрические фигуры на нелинованной и
клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки (после совместного анализа).
Находить длины отрезков непосредственным измерением с помощью
линейки, строить отрезки заданной длины; строить окружность заданного
радиуса.
Использовать свойства сторон и углов прямоугольника, квадрата для их
построения, вычисления площади и периметра.
Вычислять периметр и площадь квадрата, прямоугольника, фигур,
составленных из прямоугольников, в том числе фигур, изображённых на
клетчатой бумаге.
Пользоваться основными метрическими единицами измерения длины,
площади; выражать одни единицы величины через другие (при необходимости с
опорой на справочную информацию).
Распознавать параллелепипед, куб, использовать терминологию: вершина,
ребро грань, измерения; находить измерения параллелепипеда, куба.
Вычислять объём куба, параллелепипеда по заданным измерениям (с
опорой на алгоритм учебных действий), пользоваться единицами измерения
объёма.
Решать несложные задачи на измерение геометрических величин в
практических ситуациях (при необходимости с визуальной опорой).
КЛАСС
Числа и вычисления
Ориентироваться в понятиях и оперировать на базовом уровне терминами,
связанными с различными видами чисел и способами их записи, переходить
(если это возможно) от одной формы записи числа к другой.
Сравнивать и упорядочивать целые числа, обыкновенные и десятичные
дроби, сравнивать числа одного и разных знаков.
Выполнять арифметические действия с натуральными и целыми числами,
обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными
числами.
Вычислять значения числовых выражений, выполнять прикидку и оценку
результата вычислений; выполнять преобразования числовых выражений на
основе свойств арифметических действий.
Соотносить точку на координатной прямой с соответствующим ей числом
и изображать числа точками на координатной прямой, находить модуль числа.
Соотносить точки в прямоугольной системе координат с координатами
этой точки.
Округлять целые числа и десятичные дроби (по образцу), находить
приближения чисел.
Числовые и буквенные выражения
Ориентироваться в понятиях и оперировать на базовом уровне терминами,
связанными с записью степени числа, находить квадрат и куб числа, вычислять
значения простейших числовых выражений, содержащих степени.
Пользоваться признаками делимости (при необходимости с опорой на
алгоритм правила), раскладывать натуральные числа на простые множители.
Пользоваться масштабом, составлять пропорции и отношения.
Использовать буквы для обозначения чисел при записи математических
выражений, находить значения буквенных выражений, осуществляя
необходимые подстановки и преобразования (с опорой на алгоритм учебных
действий).
Находить неизвестный компонент равенства.
Решение текстовых задач
Решать многошаговые текстовые задачи арифметическим способом с
опорой на вопросный план.
Решать простейшие задачи, связанные с отношением,
пропорциональностью величин, процентами; решать три основные задачи на
дроби и проценты.
Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины:
скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость; производительность,
время, объёма работы, используя арифметические действия, оценку, прикидку;
пользоваться единицами измерения соответствующих величин.
Составлять буквенные выражения по условию задачи после совместного
анализа.
Извлекать информацию, представленную в таблицах, на линейной,
столбчатой или круговой диаграммах, интерпретировать представленные
данные; использовать данные при решении задач.
Представлять информацию с помощью таблиц, линейной и столбчатой
диаграмм.
Наглядная геометрия
Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму
изученных геометрических плоских и пространственных фигур, примеры
равных и симметричных фигур.
Изображать с помощью циркуля, линейки, транспортира на нелинованной
и клетчатой бумаге изученные плоские геометрические фигуры и конфигурации,
симметричные фигуры.
Иметь представление о геометрических понятиях: равенство фигур,
симметрия, ось симметрии, центр симметрии.
Находить величины углов измерением с помощью транспортира, строить
углы заданной величины, пользоваться при решении задач градусной мерой
углов; распознавать на чертежах острый, прямой, развёрнутый и тупой углы.
Вычислять длину ломаной, периметр многоугольника, пользоваться
единицами измерения длины, выражать одни единицы измерения длины через
другие.
Находить, используя чертёжные инструменты, расстояния: между двумя
точками, от точки до прямой, длину пути на квадратной сетке.
Вычислять площадь фигур, составленных из прямоугольников,
использовать разбиение на прямоугольники, на равные фигуры, достраивание до
прямоугольника; пользоваться основными единицами измерения площади;
выражать одни единицы измерения площади через другие (при необходимости с
опорой на справочную информацию).
Распознавать на моделях и изображениях пирамиду, конус, цилиндр,
использовать терминологию: вершина, ребро, грань, основание, развёртка.
Изображать на клетчатой бумаге прямоугольный параллелепипед.
Вычислять объём прямоугольного параллелепипеда, куба, пользоваться
основными единицами измерения объёма; выражать одни единицы измерения
объёма через другие (с опорой на справочную информацию).
Решать несложные задачи на нахождение геометрических величин в
практических ситуациях (при необходимости с визуальной опорой).
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «АЛГЕБРА» (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Алгебра» на уровне основного общего
образования должно обеспечивать достижение следующих предметных
образовательных результатов:
КЛАСС
Числа и вычисления
Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические
действия с рациональными числами.
Находить значения числовых выражений; применять разнообразные
способы и приёмы вычисления значений дробных выражений, содержащих
обыкновенные и десятичные дроби.
Переходить от одной формы записи чисел к другой (преобразовывать
десятичнуюдробьвобыкновенную,обыкновенную
в десятичную, в частности в бесконечную десятичную дробь). Сравнивать и
упорядочивать рациональные числа.
Округлять числа.
Выполнять прикидку и оценку результата вычислений, оценку значений
числовых выражений.
Выполнять действия со степенями с натуральными показателями (с опорой
на справочную информацию).
Применять признаки делимости, разложение на множители натуральных
чисел.
Решать простейшие практико-ориентированные задачи, связанные с
отношением величин, пропорциональностью величин, процентами;
интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных со
свойствами рассматриваемых объектов.
Алгебраические выражения
Ориентироваться в понятиях и оперировать на базовом уровне
алгебраической терминологией и символикой.
Находить значения буквенных выражений при заданных значениях
переменных.
Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением
подобных слагаемых, раскрытием скобок.
Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на
многочлен, применять формулы квадрата суммы и квадрата разности (с опорой
на справочную информацию).
Осуществлять разложение многочленов на множители с помощью
вынесения за скобки общего множителя, группировки слагаемых, применения
формул сокращённого умножения (с опорой на справочную информацию).
Применять преобразования многочленов для решения различных задач из
математики, смежных предметов, из реальной практики.
Использовать свойства степеней с натуральными показателями для
преобразования выражений (с опорой на справочную информацию).
Уравнения и неравенства
Решать линейные уравнения с одной переменной, применяя правила
перехода от исходного уравнения к равносильному ему. Проверять, является ли
число корнем уравнения.
Иметь представление о графических методах при решении линейных
уравнений и их систем.
Подбиратьпримерыпарчисел,являющихсярешениемлинейного
уравнения с двумя переменными.
Строить в координатной плоскости график линейного уравнения с двумя
переменными; пользуясь графиком, приводить примеры решения уравнения.
Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в том
числе графически (с опорой на алгоритм учебных действий).
Составлять (после совместного анализа) и решать линейное уравнение или
систему линейных уравнений по условию задачи, интерпретировать в
соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Координаты и графики. Функции
Изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным
координатам, лучи, отрезки, интервалы; записывать числовые промежутки на
алгебраическом языке.
Отмечать в координатной плоскости точки по заданным координатам;
строить графики линейных функций. Строить график функции y = kx + b.
Описывать с помощью функций известные зависимости между
величинами (по алгоритму учебных действий): скорость, время, расстояние;
цена, количество, стоимость; производительность, время, объём работы.
Находить значение функции по значению её аргумента.
Понимать графический способ представления и анализа информации;
извлекать и интерпретировать информацию из графиков реальных процессов и
зависимостей.
КЛАСС
Числа и вычисления
Использовать начальные представления о множестве действительных
чисел для сравнения, округления и вычислений; изображать действительные
числа точками на координатной прямой.
Применять понятие арифметического квадратного корня; находить
квадратные корни, используя при необходимости калькулятор; выполнять
простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни,
используя свойства корней.
Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных
дробей и степеней числа 10.
Алгебраические выражения
Применять понятие степени с целым показателем, выполнять
преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем (с
использованием справочной информации).
Выполнять несложные тождественные преобразования рациональных
выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими
дробями.
Раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
Применять преобразования выражений для решения различных задач из
математики, смежных предметов, из реальной практики.
Уравнения и неравенства
Решать линейные, квадратные уравнения (с использованием справочной
информации) и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух
уравнений с двумя переменными.
Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том
числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли
уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.) с
опорой на алгоритм учебных действий.
Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической
модели с помощью составления уравнения или системы уравнений,
интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; решать
линейные неравенства с одной переменной и их системы; давать графическую
иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.
Функции
Оперировать на базовом уровне функциональные понятия и язык
(термины, символические обозначения); определять значение функции по
значению аргумента; определять свойства функции по её графику.
Строить графики элементарных функций вида , y = x2, y = x3, y = √𝑥 , y =
𝑘; описывать свойства числовой функции по её графику (при необходимости с
𝑥
направляющей помощью).
КЛАСС
Числа и вычисления
Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа.
Выполнять арифметические действия с рациональными числами, сочетая
устные и письменные приёмы, выполнять вычисления с иррациональными
числами.
Находить значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять
значения числовых выражений.
Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата
вычислений, оценку числовых выражений.
Уравнения и неравенства
Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним,
простейшие дробно-рациональные уравнения.
Решать простейшие системы двух линейных уравнений с двумя
переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является
линейным (по визуальной опоре).
Решать простейшие текстовые задачи алгебраическим способом с
помощью составления уравнения или системы двух уравнений с двумя
переменными.
Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том
числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли
уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.).
Решать линейные неравенства, квадратные неравенства; изображать
решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью
символов.
Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие
квадратное неравенство; изображать решение системы неравенств на числовой
прямой, записывать решение с помощью символов.
Использовать неравенства при решении различных задач.
Функции
Распознаватьфункцииизученныхвидов.Показыватьсхематически
расположение на координатной плоскости графиков функций вида: y = kx, y = kx
+ b, , y = ax2 + bx +c, y = x3, y =𝑥, y = 𝑘
𝑥
в зависимости от значений
коэффициентов; описывать свойства функций.
Строить и изображать схематически графики квадратичных функций,
описывать свойства квадратичных функций по их графикам.
Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры
квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных
способах задания.
Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов (c
опорой на справочную информацию).
Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе
задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых
технологий).
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ» (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Геометрия» на уровне основного общего
образования должно обеспечивать достижение следующих предметных
образовательных результатов:
КЛАСС
Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное
расположение, изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по
условию задачи. Измерять линейные и угловые величины. Решать задачи на
вычисление длин отрезков и величин углов.
Делать грубую оценку линейных и угловых величин предметов в реальной
жизни, размеров природных объектов. Различать размеры этих объектов по
порядку величины.
Строить чертежи к геометрическим задачам (с использованием смысловой
опоры: наводящие вопросы и/или алгоритма учебных действий).
Пользоваться признаками равенства треугольников, использовать
признаки и свойства равнобедренных треугольников при решении задач.
Проводить доказательства несложных геометрических теорем.
Пользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников,
свойством медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, в
решении геометрических задач (с использованием зрительной наглядности и/или
вербальной опоры).
Определять параллельность прямых с помощью углов, которые образует с
ними секущая. Определять параллельность прямых с помощью равенства
расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.
Решать задачи на клетчатой бумаге.
Проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов
в геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и
многоугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух
параллельных прямых секущей. Решать практические задачи на нахождение
углов.
Иметь представление о понятие геометрического места точек.
Формулировать определения окружности и круга, хорды и диаметра
окружности, пользоваться их свойствами. Уметь применять эти свойства при
решении задач.
Ориентироваться в понятиях: описанная около треугольника окружность,
центр описанной окружности. Оперировать на базовом уровне фактами о том,
что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и о том, что
серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной
точке.
Ориентироваться в понятиях и оперировать на базовом уровне:
касательная к окружности, теорема о перпендикулярности касательной и
радиуса, проведённого к точке касания.
Иметь представление о простейших геометрических неравенств, их
практическом смысле.
Проводить основные геометрические построения с помощью циркуля и
линейки.
КЛАСС
Распознавать основные виды четырёхугольников, их элементы,
пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Ориентироваться в понятии – точки пересечения медиан треугольника
(центра масс) в решении задач.
Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их
свойства при решении простейших геометрических задач. Иметь представление о
теореме Фалеса и теореме о пропорциональных отрезках, применять их для
решения практических задач (с опорой на зрительную наглядность).
Применять признаки подобия треугольников в решении несложных
геометрических задач.
Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и
практических задач.
Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла
прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения
практических задач (при необходимости с опорой на алгоритм правила).
Вычислять (различными способами) (с опорой на справочную
информацию) площадь треугольника и площади многоугольных фигур
(пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в
практических задачах.
Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать
теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между
касательной и хордой при решении простейших геометрических задач.
Владеть понятием описанного четырёхугольника, применять свойства
описанного четырёхугольника при решении простейших задач.
Применять полученные знания на практике – строить математические
модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с
применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо,
калькулятором).
КЛАСС
Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью
различные элементы прямоугольного треугольника («решение прямоугольных
треугольников»). Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для
нетабличных значений.
Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим
тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими
величинами (с опорой на справочную информацию).
Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных
элементов треугольника («решение треугольников»), применять их при решении
простейших геометрических задач.
Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов
подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь
вычислять длины и находить углы у подобных фигур (по алгоритму учебных
действий). Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь
приводить примеры подобных фигур в окружающем мире.
Пользоваться теоремами (по визуальной опоре) о произведении отрезков
хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной.
Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический
смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять
скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов.
Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении
геометрических и практических задач.
Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности,
длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга
и его частей (с опорой на справочную информацию). Применять полученные
умения в практических задачах.
Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения
плоскости в простейших случаях.
Применять полученные знания на практике – строить математические
модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с
применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где
необходимо, калькулятором).
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» (ПО
ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Предметные результаты освоения курса «Вероятность и статистика» в 7–9
классах характеризуются следующими умениями.
КЛАСС
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах;
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений (с использованием зрительной
наглядности и/или вербальной опоры).
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Ориентироваться в понятиях и оперировать ими на базовом уровне:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
Иметьпредставлениеослучайнойизменчивостинапримерахцен,
физических величин, антропометрических данных; иметь представление о
статистической устойчивости.
КЛАСС
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде таблиц, диаграмм,
графиков.
Описывать после совместного анализа данные с помощью статистических
показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и
стандартное отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по
результатам измерений и наблюдений (с использованием зрительной
наглядности и/или вербальной опоры).
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности
элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями (с использованием зрительной наглядности и/или
вербальной опоры).
Иметь представление о графических моделях: дерево случайного
эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями на базовом уровне: множество, подмножество;
выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение;
перечислять элементы множеств; применять свойства множеств (с
использованием визуальной опоры).
Иметь представление о графическом представление множеств и связей
между ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач
из других учебных предметов и курсов.
КЛАСС
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных
источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде
таблиц, диаграмм, графиков.
Решать простейшие задачи организованным перебором вариантов, а также с
использованием комбинаторных правил и методов.
Иметь представление об описательных характеристиках для массивов
числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь
результатами проведённых измерений и наблюдений (с опорой на справочную
информацию).
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том
числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях
испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в
природе и обществе.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Тематическое планирование и количестве часов, отводимых на освоение каждой темы учебного предмета
«Математика» Примерной адаптированной основной образовательной программы основного общего образования
обучающихся с задержкой психического развития, в целом совпадают с соответствующим разделом Примерной
рабочей программы учебного предмета «Математика» образовательной программы основного общего образования. При
этом Организация вправе сама вносить изменения в содержание и распределение учебного материала по годам
обучения, в последовательность изучения тем и количество часов на освоение каждой темы, определение
организационных форм обучения и т.п. Обоснованность данных изменений определяется выбранным образовательной
организацией УМК, индивидуальными психофизическими особенностями конкретных обучающихся с ЗПР, степенью
усвоенности ими учебных тем, рекомендациями по отбору и адаптации учебного материала по математике,
представленными в Пояснительной записке.
класс (не менее 170 ч)
Название раздела (темы) курса (число часов)
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
Натуральные числа. Действия с натуральными числами
(43 ч) Десятичная система счисления. Ряд натуральных чисел. Натуральный ряд. Число 0. Натуральные числа на коор-динатной прямой. Сравнение, округление натуральных чисел.
Арифметические действия с натуральными числами. Свойства нуля при сложении и -умножении, свойства единицы при умножении. Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения. Читать, записывать, сравнивать натуральные числа; участвовать в обсуждении способов упорядочивания чисел.
Изображать координатную прямую, отмечать числа точками на координатной прямой, находить координаты точки.
Исследовать свойства натурального ряда, чисел 0 и 1 при сложении и умножении.
Использовать правило округления натуральных чисел при
Делители и кратные числа, разложение числа на множители. Деление с остатком. Простые и составные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9.
Степень с натуральным показателем. Числовые выражения; порядок действий.
Решение текстовых задач на все арифметические действия, на движение и покупки. необходимости с опорой на алгоритм правила.
Выполнять арифметические действия с натуральными числами, вычислять значения числовых выражений со скобками и без скобок.
Записывать произведение в виде степени, читать степени, использовать терминологию (основание, показатель), вычислять значения степеней при необходимости с визуальной опорой.
Выполнять прикидку и оценку значений числовых выражений, предлагать и применять приёмы проверки вычислений.
Использовать при вычислениях переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения; формулировать и применять правила преобразования числовых выражений на основе свойств арифметических действий при необходимости с направляющей помощью.
Формулировать определения делителя и кратного (с опорой на алгоритм правила), называть делители и кратные числа; распознавать простые и составные числа; формулировать и применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, (с опорой на алгоритм правила); применять алгоритм разложения числа на простые множители; находить остатки от деления и неполное частное.
Распознавать истинные и ложные высказывания о натуральных числах, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний о свойствах натуральных чисел с опорой на образец.
Решать текстовые задачи арифметическим способом, использовать зависимости между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.) при необходимости с использованием справочной информации: анализировать текст задачи, переформулировать условие,
извлекать необходимые данные, устанавливать зависимости между величинами при необходимости с направляющей помощью.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать различные решения, записи решений текстовых задач.
С помощью педагога оценивать полученный результат, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию, находить ошибки.
Решать задачи с помощью перебора всех возможных вариантов.
Знакомиться с историей развития арифметики.
Наглядная геометрия. Линии на плоскости
(12 ч) Точка, прямая, отрезок, луч. Ломаная. Измерение длины отрезка, метрические единицы измерения длины. Окружность и круг.
Практическая работа «Построение узора из окружностей».
Угол. Прямой, острый, тупой и развёрнутый углы. Измерение углов.
Практическая работа «Построение углов». Распознавать на чертежах, рисунках, описывать, используя терминологию, и изображать с помощью чертёжных инструментов (при необходимости по визуальной опоре): точку, прямую, отрезок, луч, угол, ломаную, окружность.
Распознавать, приводить примеры объектов реального мира, имеющих форму изученных фигур, оценивать их линейные размеры.
Использовать линейку и транспортир как инструменты для построения и измерения: измерять длину отрезка, величину угла; строить отрезок заданной длины, угол, заданной величины; откладывать циркулем равные отрезки, строить окружность заданного радиуса.
Изображать конфигурации геометрических фигур из отрезков, окружностей, их частей на нелинованной и клетчатой бумаге; предлагать, описывать и обсуждать способы, алгоритмы построения после совместного анализа.
Распознавать и изображать на нелинованной и клетчатой
бумагепрямой,острый,тупой,развёрнутыйуглы;
сравнивать углы.
Вычислять длины отрезков, ломаных.
Понимать и использовать при решении задач зависимости между единицами метрической системы мер; знакомиться с неметрическими системами мер; выражать длину в различных единицах измерения при необходимости с опорой на справочную информацию.
Исследовать фигуры и конфигурации, используя цифровые ресурсы.
Обыкновенные Дробь. Правильные и неправильные дроби. Основное Моделироватьвграфической,предметнойформе,с
дроби свойство дроби. Сравнение дробей. помощью компьютера понятия и свойства, связанные с
(48 ч) Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Смешанная обыкновенной дробью.
дробь.Умножениеиделениеобыкновенныхдробей; Читать и записывать, сравнивать обыкновенные дроби,
взаимно-обратные дроби. предлагать и обсуждать способы упорядочивания дробей.
Решение текстовых задач, содержащих дроби. Основные Изображатьобыкновенныедробиточкамина
задачи на дроби. координатнойпрямой;использоватькоординатную
Применение букв для записи математических выражений и прямую для сравнения дробей.
предложений. Формулировать, записывать с помощью букв основное
свойство обыкновенной дроби с опорой на правило;
использовать основное свойство дроби для сокращения
дробей и приведения дроби к новому знаменателю в
простейших случаях.
Представлять по образцу смешанную дробь в виде
неправильнойивыделятьцелуючастьчислаиз
неправильной дроби.
Выполнять арифметические действия с обыкновенными
дробямивпростыхслучаях;применятьсвойства
арифметических действий для рационализации вычислений.
Выполнять прикидку и оценку результата вычислений;
предлагать и применять приёмы проверки вычислений.
Проводить исследования свойств дробей, опираясь на
числовыеэксперименты(втомчислеспомощью компьютера).
Распознавать истинные и ложные высказывания о дробях,
приводить примеры и контрпримеры.
Решать простейшие текстовые задачи, содержащие дробные данные, и задачи на нахождение части целого и целого по его части; выявлять их сходства и различия.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений текстовых задач при необходимости с направляющей помощью.
С помощью педагога оценивать полученный результат, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию, находить ошибки.
Знакомиться с историей развития арифметики.
Наглядная геометрия. Многоугольники (10 ч Многоугольники.Четырёхугольник,прямоугольник, квадрат.
Треугольник.
Площадь и периметр прямоугольника и многоугольников, составленных из прямоугольников, единицы измерения площади. Периметр многоугольника. Распознавать, изображать с помощью чертёжных инструментов и от руки, моделировать из бумаги многоугольники.
Приводить примеры объектов реального мира, имеющих форму многоугольника, прямоугольника, квадрата, треугольника, оценивать их линейные размеры.
Вычислять: периметр треугольника, прямоугольника, многоугольника; площадь прямоугольника, квадрата (при необходимости с опорой на алгоритм учебных действий).
Изображать остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники.
Строить на клетчатой бумаге квадрат и прямоугольник с заданными длинами сторон.
Исследовать свойства прямоугольника, квадрата путём эксперимента, наблюдения, измерения, моделирования; сравнивать свойства квадрата и прямоугольника.
Распознавать истинные и ложные высказывания о многоугольниках, приводить примеры и контрпримеры.
Исследовать зависимость площади квадрата от длины его стороны.
Использовать свойства квадратной сетки для построения фигур; разбивать прямоугольник на квадраты, треугольники; составлять фигуры из квадратов и прямоугольников и находить их площадь, разбивать фигуры на прямоугольники и квадраты и находить их площадь (при необходимости с направляющей помощью).
Выражать величину площади в различных единицах измерения метрической системы мер, использовать зависимости между метрическими единицами измерения площади при необходимости с опорой на справочную информацию.
Знакомиться с примерами применения площади и периметра в практических ситуациях. Решать задачи из реальной жизни, при необходимости с опорой на алгоритм правила, обсуждать различные способы решения задач.
Десятичные дроби
(38 ч) Десятичная запись дробей. Сравнение десятичных дробей.
Действия с десятичными дробями. Округление десятичных дробей.
Решение текстовых задач, содержащих дроби. Основные задачи на дроби. Представлять десятичную дробь в виде обыкновенной, читать и записывать, сравнивать десятичные дроби, предлагать и обсуждать способы упорядочивания десятичных дробей.
Изображать десятичные дроби точками на координатной прямой.
Выявлять сходства и различия правил арифметических действий с натуральными числами и десятичными дробями, после совместного анализа.
Выполнять арифметические действия с десятичными дробями; выполнять прикидку и оценку результата вычислений.
Применять свойства арифметических действий для
рационализации вычислений.
Применять правило округления десятичных дробей, при необходимости с визуальной опорой.
Проводить исследования свойств десятичных дробей, опираясь на числовые эксперименты (в том числе с помощью компьютера).
Распознавать истинные и ложные высказывания о дробях, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний.
Решать простейшие текстовые задачи, содержащие дробные данные, и на нахождение части целого и целого по его части; выявлять их сходства и различия.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы, таблицы. Разбирать различные решения, записи решений текстовых задач.
Оперировать дробными числами в реальных жизненных ситуациях.
С помощью педагога оценивать полученный результат, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию, находить ошибки.
Знакомиться с историей развития арифметики
Наглядная геометрия. Тела и фигуры в пространстве (9 ч) Многогранники. Изображение многогранников. Модели пространственных тел.
Прямоугольный параллелепипед, куб. Развёртки куба и параллелепипеда.
Объём куба, прямоугольного параллелепипеда. Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире прямоугольный параллелепипед, куб, многогранники, описывать, используя терминологию, оценивать линейные размеры.
Приводить примеры объектов реального мира, имеющих форму многогранника, прямоугольного параллелепипеда, куба.
Изображать куб на клетчатой бумаге.
Исследовать свойства куба, прямоугольного параллелепипеда, многогранников, используя модели при необходимости с направляющей помощью.
Распознавать развёртки куба и параллелепипеда. Моделировать куб и параллелепипед из бумаги и прочих материалов, по образцу.
Находить измерения, вычислять площадь поверхности; объём куба, прямоугольного параллелепипеда с опорой на алгоритм учебных действий; исследовать зависимость объёма куба от длины его ребра.
Наблюдать и проводить аналогии между понятиями площади и объёма, периметра и площади поверхности.
Распознавать истинные и ложные высказывания о многогранниках, приводить примеры и контрпримеры. Решать задачи из реальной жизни.
Повторение и обобщение (10 ч Повторение основных понятий и методов курса 5 класса, обобщение знаний. Вычислять значения выражений, содержащих натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби, выполнять преобразования чисел при необходимости с направляющей помощью.
Выбирать способ сравнения чисел, вычислений, применять свойства арифметических действий для рационализации вычислений.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата вычислений.
Решать простейшие задачи из реальной жизни, применять математические знания для решения задач из других учебных предметов.
Решать простейшие задачи разными способами, сравнивать способы решения задачи, выбирать рациональный способ.
класс (не менее 170 ч)
Название раздела (темы) курса (число часов) Основное содержание Основные виды деятельности обучающихся
Натуральные числа
(30 ч) Арифметические действия с многозначными натуральными числами. Числовые выражения, порядок действий, использование скобок. Округление натуральных чисел.
Делители и кратные числа; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Разложение числа на простые множители. Делимость суммы и произведения. Деление с остатком.
Решение текстовых задач. Выполнять арифметические действия с многозначными натуральными числами, находить значения числовых выражений со скобками и без скобок; вычислять значения выражений, содержащих степени.
Выполнять прикидку и оценку значений числовых выражений, применять приёмы проверки результата.
Использовать при вычислениях переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения, свойства арифметических действий.
Исследовать числовые закономерности, проводить числовые эксперименты.
Формулировать определения делителя и кратного, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, простого и составного чисел; использовать эти понятия при решении задач (при необходимости с опорой на алгоритм правила).
Применять алгоритмы вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел, алгоритм разложения числа на простые множители.
Исследовать свойства делимости суммы и произведения чисел с опорой на вопросный план.
Приводить примеры чисел с заданными свойствами, распознавать верные и неверные утверждения о свойствах чисел, опровергать неверные утверждения с помощью контрпримеров.
Конструировать математические предложения с помощью связок «и», «или», «если…, то…» по образцу.
Решать текстовые задачи, включающие понятия делимости, арифметическим способом, использовать перебор всех возможных вариантов с опорой на вопросный план.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений текстовых задач с направляющей помощью.
Критически оценивать полученный результат, находить ошибки, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию.
Наглядная геометрия. Прямые на плоскости (7 ч) Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые.
Расстояние между двумя точками, от точки до прямой, длина пути на квадратной сетке.
Примеры прямых в пространстве. Распознавать на чертежах, рисунках случаи взаимного расположения двух прямых.
Изображать с помощью чертёжных инструментов клетчатой бумаге две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, строить прямую, перпендикулярную данной.
Приводитьпримерыпараллельностии перпендикулярности прямых в пространстве.
Распознавать в многоугольниках перпендикулярные и параллельные стороны. Изображать многоугольники с параллельными, перпендикулярными сторонами по образцу. Находить расстояние между двумя точками, от точки до прямой, длину пути на квадратной сетке, в том числе используя цифровые ресурсы.
Дроби (32 ч) Обыкновеннаядробь,основноесвойстводроби, сокращение дробей. Сравнение и упорядочивание дробей. Десятичные дроби и метрическая система мер.
Арифметическиедействиясобыкновеннымии десятичными дробями. Сравнивать и упорядочивать дроби, выбирать способ
сравнения дробей.
Представлять десятичные дроби в виде обыкновенных дробей и обыкновенные в виде десятичных, использовать эквивалентные представления дробных чисел при их сравнении, при вычислениях (при необходимости с
Отношение. Деление в данном отношении. Масштаб, пропорция.
Понятие процента. Вычисление процента от величины и величины по её проценту.
Решение текстовых задач, содержащих дроби и проценты. Практическая работа «Отношение длины окружности к её диаметру». направляющей помощью).
Использовать десятичные дроби при преобразовании величин в метрической системе мер.
Выполнять арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Вычислять значения выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби, выполнять преобразования дробей, выбирать способ, применять свойства арифметических действий для рационализации вычислений.
Составлять отношения и пропорции, находить отношение величин, делить величину в данном отношении.
Находить экспериментальным путём отношение длины окружности к её диаметру (при необходимости с направляющей помощью).
Находить масштаб плана, карты и вычислять расстояния, используя масштаб с опорой на алгоритм учебных действий. Объяснять, что такое процент, употреблять обороты речи со словом «процент». Выражать проценты в дробях и дроби в процентах, отношение двух величин в процентах.
Вычислять процент от числа и число по его проценту.
Округлять дроби и проценты, находить приближения чисел при необходимости с использованием визуальной опоры.
Решать задачи на части, проценты, пропорции, на нахождение дроби (процента) от величины и величины по её дроби (проценту), дроби (процента), который составляет одна величина от другой. Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений текстовых задач при необходимости с направляющей помощью.
Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, интерпретировать табличные данные, определять наибольшее и наименьшее из представленных данных.
Наглядная геометрия. Симметрия (6 ч) Осевая симметрия. Центральная симметрия. Построение симметричных фигур.
Симметрия в пространстве. Распознавать на чертежах и изображениях, изображать от руки, строить с помощью инструментов фигуру (отрезок, ломаную, треугольник, прямоугольник, окружность), симметричную данной относительно прямой, точки с направляющей помощью.
Находить примеры симметрии в окружающем мире. Моделироватьизбумагидвефигуры,симметричные относительнопрямой;конструироватьгеометрические конфигурации, используя свойство симметрии, в том числе с помощью цифровых ресурсов с опорой на алгоритм учебных действий.
Выражения с буквами (6 ч) Применение букв для записи математических выражений и предложений. Буквенные выражения и числовые подстановки.
Буквенные равенства, нахождение неизвестного компонента. Формулы. Использовать буквы для обозначения чисел, при записи математических утверждений, составлять буквенные выражения по условию задачи.
Исследовать несложные числовые закономерности, использовать буквы для их записи.
Вычислять числовое значение буквенного выражения при заданных значениях букв с опорой на алгоритм учебных действий.
Записывать формулы: периметра и площади прямоугольника, квадрата; длины окружности, площади круга; выполнять вычисления по этим формулам.
Составлять формулы, выражающие зависимости между величинами: скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость; производительность, время, объём работы; выполнять вычисления по этим формулам.
Находить неизвестный компонент арифметического действия.
Наглядная геометрия. Фигуры Четырёхугольник, примеры четырёхугольников. Прямоугольник, квадрат: свойства сторон, углов, диагоналей. Изображать на нелинованной и клетчатой бумаге с использованиемчертёжныхинструментов четырёхугольники с заданными свойствами: с
на плоскости (14 ч) Измерение углов. Виды треугольников.
Периметр многоугольника. Площадь фигуры. Формулы периметра и площади прямоугольника. Приближённое измерение площади фигур.
Практическая работа «Площадь круга». параллельными, перпендикулярными, равными сторонами, прямыми углами и др., равнобедренный треугольник. Предлагать и обсуждать способы, алгоритмы построения. Исследовать, используя эксперимент, наблюдение, моделирование, свойства прямоугольника, квадрата, разбивать на треугольники с опорой на вопросный план.
Обосновывать, опровергать с помощью контрпримеров утверждения о прямоугольнике, квадрате, распознавать верные и неверные утверждения.
Измерять и строить с помощью транспортира углы, в том числе в многоугольнике, сравнивать углы; распознавать острые, прямые, тупые, развёрнутые углы.
Распознавать, изображать остроугольный, прямоугольный, тупоугольный,равнобедренный,равносторонний треугольники (при необходимости с использованием визуальной опоры).
Вычислятьпериметрмногоугольника,площадь многоугольника разбиением на прямоугольники, на равные фигуры, использовать метрические единицы измерения длины и площади с опорой на алгоритм учебных действий. Использовать приближённое измерение длин и площадей на клетчатойбумаге,приближённое измерение длины окружности, площади круга.
Положительные и отрицательные числа
(40 ч) Целые числа. Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля. Числовые промежутки.
Положительные и отрицательные числа. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами.
Решение текстовых задач. Приводить примеры использования в реальной жизни положительных и отрицательных чисел.
Изображать целые числа, положительные и отрицательные числа точками на числовой прямой, использовать числовую прямую для сравнения чисел.
Применять правила сравнения, упорядочивать целые числа; находить модуль числа.
Формулировать правила вычисления с положительными и отрицательными числами, находить значения числовых
выражений,содержащихдействия с положительными и отрицательными числами при необходимости с опорой на алгоритм правила.
Применять свойства сложения и умножения для преобразования сумм и произведений.
Представление данных
(6 ч) Прямоугольнаясистемакоординатнаплоскости. Координаты точки на плоскости, абсцисса и ордината.
Столбчатые и круговые диаграммы. Практическая работа «Построение диаграмм».
Решениетекстовыхзадач,содержащихданные, представленные в таблицах и на диаграммах. Объяснять и иллюстрировать понятие прямоугольной системы координат на плоскости, использовать терминологию; строить на координатной плоскости точки и фигуры по заданным координатам, находить координаты точек.
Читать столбчатые и круговые диаграммы; интерпретировать данные; строить столбчатые диаграммы. Использовать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах для решения текстовых задач и задач из реальной жизни.
Наглядная геометрия.
Фигуры
в пространстве (9 ч) Прямоугольный параллелепипед, куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар и сфера. Изображение пространственных фигур. Примеры развёрток многогранников, цилиндра и конуса.
Практическаяработа«Созданиемоделей пространственных фигур».
Понятие объёма; единицы измерения объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда, куба, формулы объёма. Распознавать на чертежах, рисунках, описывать пирамиду, призму, цилиндр, конус, шар, изображать их от руки, моделировать из бумаги, пластилина, проволоки и др. с направляющей помощью. Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих формы названных тел.
Использовать терминологию: вершина, ребро, грань, основание, высота, радиус и диаметр, развёртка.
Изучать, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование, в том числе компьютерное, и описывать свойства названных тел, выявлять сходства и различия: между пирамидой и призмой; между цилиндром, конусом и шаром.
Распознавать развёртки параллелепипеда, куба, призмы, пирамиды, конуса, цилиндра; конструировать данные тела из развёрток, создавать их модели с направляющей помощью.
Создавать модели пространственных фигур (из бумаги, проволоки, пластилина и др.) с опорой на алгоритм учебных действий.
Измерять на моделях: длины рёбер многогранников, диаметр шара.
Вычислять по формулам: объём прямоугольного параллелепипеда, куба; использовать единицы измерения объёма; вычислять объёмы тел, составленных из кубов, параллелепипедов; решать задачи с реальными данными с опорой на справочную инфомацию.
Повторение, Повторение основных понятий и методов курсов 5 и 6 Вычислять значения выражений, содержащих натуральные,
обобщение, классов, обобщение и систематизация знаний. целые,положительныеиотрицательныечисла,
систематизация обыкновенныеидесятичныедроби,выполнять
(20 ч) преобразования чисел и выражений при необходимости с
направляющей помощью.
Выбирать способ сравнения чисел, вычислений, применять
свойства арифметических действий для рационализации
вычислений.
Решать простейшие задачи из реальной жизни, применять
математические знания для решения задач из других
предметов.
Решать простейшие задачи разными способами.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и
самопроверку результата вычислений.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА» (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
класс (не менее 102 ч)
Название раздела (темы) курса (число часов)
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
Числа и вычисления. Рациональные числа
(25 ч) Понятие рационального числа.
Арифметические действия с рациональными числами. Сравнение, упорядочивание рациональных чисел.
Степень с натуральным показателем.
Решение основных задач на дроби, проценты из реальной практики.
Признакиделимости,разложениянамножители натуральных чисел.
Реальныезависимости.Прямаяиобратная пропорциональности. Систематизировать и обогащать знания об обыкновенных и десятичных дробях.
Сравнивать и упорядочивать дроби, преобразовывая при необходимости десятичные дроби в обыкновенные, обыкновенные в десятичные, в частности в бесконечную десятичную дробь.
Применять разнообразные способы и приёмы вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби: заменять при необходимости десятичную дробь обыкновенной и обыкновенную десятичной, приводить выражение к форме, наиболее удобной для вычислений, преобразовывать дробные выражения на умножение и деление десятичных дробей к действиям с целыми числами (при необходимости с направляющей помощью).
Приводить числовые и буквенные примеры степени с натуральным показателем, объясняя значения основания степени и показателя степени, находить значения степеней вида an (a — любое рациональное число, n — натуральное число) с опорой на справочную информацию.
Понимать смысл записи больших чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, применять их в реальных ситуациях.
Применять признаки делимости, разложения на множители натуральных чисел.
Решать простейшие задачи на части, проценты, пропорции,
на нахождение дроби (процента) от величины и величины по её дроби (проценту), дроби (процента), который составляет одна величина от другой. Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений текстовых задач.
Распознавать и объяснять, опираясь на определения, прямо пропорциональные и обратно пропорциональные зависимости между величинами; приводить примеры этих зависимостей из реального мира, из других учебных предметов.
Решать простейшие практико-ориентированные задачи на дроби, проценты, прямую и обратную пропорциональности, пропорции.
Алгебраические выражения
(27 ч) Буквенные выражения. Переменные. Допустимые значения переменных. Формулы.
Преобразование буквенных выражений, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
Свойства степени с натуральным показателем. Многочлены.Сложение,вычитание,умножение многочленов.Формулысокращённогоумножения. Разложение многочленов на множители. Овладеть на базовом уровне алгебраической терминологией и символикой, применять её в процессе освоения учебного материала.
Находить значения буквенных выражений при заданных значениях букв; выполнять вычисления по формулам.
Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных слагаемых, раскрытием скобок.
Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, применять формулы квадрата суммы и квадрата разности с опорой на справочную информацию.
Осуществлять разложение многочленов на множители путём вынесения за скобки общего множителя, применения формулы разности квадратов, формул сокращённого умножения с опорой на справочную информацию.
Применять преобразование многочленов для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.
Знакомиться с историей развития математики.
Уравнения
и неравенства (20 ч) Уравнение, правила преобразования уравнения, равносильность уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной
переменной, решение линейных уравнений. Решение задач с помощью уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем уравнений способом подстановки и способом сложения. Решать линейное уравнение с одной переменной, применяя правила перехода от исходного уравнения к равносильному ему более простого вида. Проверять, является ли конкретное число корнем уравнения.
Подбирать примеры пар чисел, являющихся решением линейного уравнения с двумя переменными.
Строить в координатной плоскости график линейного уравнения с двумя переменными (при необходимости с использованием смысловой опоры); пользуясь графиком, приводить примеры решения уравнения.
Находить решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными с опорой на алгоритм учебных действий. Составлять и решать уравнение или систему уравнений по условию задачи, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат с опорой на вопросный план.
Координаты и графики. Функции (24 ч) Координата точки на прямой. Числовые промежутки. Расстояние между двумя точками координатной прямой Прямоугольная система координат на плоскости. Примеры графиков, заданных формулами. Чтение графиков реальных зависимостей.
Понятие функции. График функции. Свойства функций. Линейная функция. Построение графика линейной функции. График функции y = kx + b. Изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным координатам, лучи, отрезки, интервалы; записывать их на алгебраическом языке.
Отмечать в координатной плоскости точки по заданным координатам; строить графики несложных зависимостей, заданных формулами, в том числе с помощью цифровых лабораторий.
Применять, изучать преимущества, интерпретировать графический способ представления и анализа разнообразной жизненной информации.
Осваивать на базовом уровне понятие функции, овладевать функциональной терминологией.
Распознавать линейную функцию y = kx + b, описывать её свойства в зависимости от значений коэффициентов k и b (при необходимости с опорой на алгоритм правила).
Строить графики линейной функции, функции y = kx + b
Использовать цифровые ресурсы для построения графиков функций и изучения их свойств.
Приводить примеры линейных зависимостей в реальных процессах и явлениях.
Повторение Повторение основных понятий и методов курса 7 класса, Выбирать,применятьспособысравнениячисел,
и обобщение обобщение знаний. вычислений,преобразованийвыражений,решения
(6 ч) уравнений при необходимости с направляющей помощью.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и
самопроверкурезультатавычислений,преобразований,
построений.
Решать простейшие задачи из реальной жизни, применять
математические знания для решения задач из других
предметов.
Решатьпростейшиетекстовыезадачи,сравнивать,
выбирать способы решения задачи.
класс (не менее 102 ч)
Название раздела (темы) курса (число часов)
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
Числа и вычисления. Квадратные корни Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел.
Действительные числа. Сравнение действительных чисел. Арифметический квадратный корень. Формулировать определение квадратного корня из числа, арифметического квадратного корня при необходимости с визуальной опорой.
Применять операцию извлечения квадратного корня из
(15 ч) Уравнение вида x2 = a.
Свойства арифметических квадратных корней. Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни. числа, используя при необходимости калькулятор.
Оценивать квадратные корни целыми числами и десятичными дробями.
Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа, записанные с помощью квадратных корней при необходимости с направляющей помощью.
Исследовать уравнение x2 = a, находить точные и приближённые корни при a > 0.
Исследовать свойства квадратных корней, проводя числовые эксперименты с использованием калькулятора (компьютера).
Применять свойства арифметических корней для преобразования выражений.
Выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Выражать переменные из геометрических и физических формул при необходимости с опорой на правило.
Вычислять значения выражений, содержащих квадратные корни, используя при необходимости калькулятор.
Использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближёнными значениями величин.
Знакомиться с историей развития математики.
Числа и вычисления.
Степень с целым
показателем (7 ч) Степень с целым показателем. Стандартная запись числа. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до космических объектов), длительность процессов в окружающем мире.
Свойства степени с целым показателем. Формулировать определение степени с целым показателем (при необходимости по визуальной опоре).
Представлять запись больших и малых чисел в стандартном виде. Сравнивать числа и величины, записанные с использованием степени 10.
Использовать запись чисел в стандартном виде для выражения размеров объектов, длительности процессов в окружающем мире.
Формулировать, записывать в символической форме и
иллюстрировать примерами свойства степени с целым показателем (при необходимости с использованием визуальной опоры).
Применять свойства степени для преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем с использованием справочной информации. Выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде (умножение, деление, возведение в степень).
Алгебраические выражения.
Квадратный трёхчлен
(5 ч) Квадратный трёхчлен. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Распознавать квадратный трёхчлен, устанавливать возможность его разложения на множители.
Раскладывать на множители квадратный трёхчлен с неотрицательным дискриминантом при необходимости с опорой на алгоритм правила.
Алгебраические выражения.
Алгебраическая дробь
(15 ч) Алгебраическая дробь. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей.
Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Записывать алгебраические выражения. Находить область определения рационального выражения.
Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе с помощью калькулятора.
Формулировать основное свойство алгебраической дроби и
применять его для преобразования дробей.
Выполнять действия с алгебраическими дробями при необходимости с направляющей помощью. Применять преобразования выражений для решения задач. Выражать переменные из формул (физических, геометрических, описывающих бытовые ситуации) при необходимости с направляющей помощью.
Уравнения
и неравенства. Квадратные уравнения
(15 ч) Квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета.
Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Простейшие дробно-рациональные уравнения.
Решениетекстовыхзадачспомощьюквадратных Распознавать квадратные уравнения.
Записывать формулу корней квадратного уравнения; решать квадратные уравнения — полные и неполные (с использованием справочной информации).
Проводить простейшие исследования квадратных
уравнений. уравнений.
Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований и заменой переменной с опорой на алгоритм правила.
Наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Применять теорему Виета для решения задач (с использованием образца).
Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления уравнения (при необходимости с направляющей помощью); решать составленное уравнение; интерпретировать результат.
Знакомиться с историей развития алгебры.
Уравнения
и неравенства. Системы уравнений
(13 ч) Линейное уравнение с двумя переменными, его график, примеры решения уравнений в целых числах.
Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач с помощью систем уравнений. Распознавать линейные уравнения с двумя переменными. Строитьграфикилинейныхуравнений,втомчисле используя цифровые ресурсы(принеобходимостис опорой на алгоритм учебных действий).
Различать параллельные и пересекающиеся прямые по их уравнениям.
Решатьсистемыдвухлинейныхуравненийсдвумя переменными подстановкой и сложением.
Решать простейшие системы, в которых одно из уравнений не является линейным при необходимости с направляющей помощью.
Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом.
Уравнения
и неравенства. Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной. Линейные неравенства с Формулироватьсвойствачисловыхнеравенств, иллюстрировать их на координатной прямой.
Неравенства (12 ч) одной переменной и их решение. Системы линейных неравенств с одной переменной и их решение.
Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой. Применять свойства неравенств в ходе решения задач. Решатьлинейныенеравенствасоднойпеременной, изображать решение неравенства на числовой прямой.
Решать системы линейных неравенств, изображать решение системы неравенств на числовой прямой при необходимости с визуальной опорой.
Функции. Основные понятия (5 ч) Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функций.
График функции. Свойства функции, их отображение на графике. Использовать функциональную терминологию и символику.
Вычислять значения функций, заданных формулами (при необходимости использовать калькулятор); составлять таблицы значений функции.
Строить по точкам графики функций.
Описывать свойства функции на основе её графического представления при необходимости с направляющей помощью.
Использовать функциональную терминологию и символику.
Исследовать примеры графиков, отражающих реальные процессы и явления. Приводить примеры процессов и явлений с заданными свойствами.
Использовать компьютерные программы для построения графиков функций и изучения их свойств
Функции. Числовые функции (9 ч) Чтениеипостроениеграфиковфункций.Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы.
Функции,описывающиепрямуюиобратную пропорциональные зависимости, их графики. Гипербола.
График функции y = x2.
Функции y = x2, y = x3, y = √𝑥, y = 𝑘; графическое
𝑥
решение уравнений и систем уравнений.
Находить с помощью графика функции значение одной из рассматриваемых величин по значению другой.
В несложных случаях выражать формулой зависимость
между величинами.
Описывать характер изменения одной величины в зависимости от изменения другой
Распознавать виды изучаемых функций. Показывать схематически положение на координатной плоскости графиков функций вида: y = x2, y = x3,
y = √х, y = 𝑘.
х
Использовать функционально-графические
представления для решения и исследования уравнений и систем уравнений.
Применять цифровые ресурсы для построения графиков функций.
Повторение Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 Применятьспособысравнениячисел,вычислений,
и обобщение классов, обобщение знаний. преобразований выражений, решения уравнений.
(6 ч) Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и
самопроверкурезультатавычислений,преобразований,
построений.
Решатьзадачиизреальнойжизни,применять
математические знания для решения задач из других
предметов.
Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы
решения задачи.
класс (не менее 102 ч)
Название раздела (темы) курса (число часов)
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
Числа и вычисления.
Действительные числа Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел; действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Взаимно однозначное Развиватьпредставленияочислах:отмножества натуральных чисел до множества действительных чисел.
Ознакомитьсясвозможностьюпредставления действительного числа как бесконечной десятичной дроби,
(9 ч) соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой.
Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами.
Приближённое значение величины, точность приближения. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. применять десятичные приближения рациональных и иррациональных чисел.
Записывать,сравниватьиупорядочивать
действительные числа.
Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с рациональными числами; находить значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять значения числовых выражений.
Получить представление о значимости действительных чисел в практической деятельности человека.
Анализировать и делать выводы (после совместного анализа) о точности приближения действительного числа при решении задач.
Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку значений числовых выражений.
Знакомиться с историей развития математики.
Уравнения
и неравенства.
Уравнения с одной переменной (14 ч) Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Биквадратные уравнения.
Примерырешенияуравненийтретьейичетвёртой степеней разложением на множители.
Решение дробно-рациональных уравнений. Решение текстовых задач алгебраическим методом. Осваивать, запоминать и применять графические методы при решении уравнений, неравенств и их систем (при необходимости с опорой на алгоритм учебных действий).
Распознавать целые и дробные уравнения.
Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, простейшие дробно-рациональные уравнения.
Предлагать возможные способы решения текстовых задач, обсуждать их и решать текстовые задачи разными способами.
Знакомиться с историей развития математики
Уравнения
и неравенства. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Система двух линейных уравнений с двумя переменными и Осваивать и применять приёмы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух
Системы уравнений (14 ч) её решение. Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое — второй степени.
Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом. уравнений, в которых одно уравнение не является линейным (по визуальной опоре).
Использовать функционально-графические представления для решения и исследования уравнений и систем.
Анализировать тексты задач, решать их алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления системы уравнений; решать составленную систему уравнений; интерпретировать результат.
Знакомиться с историей развития математики
Уравнения
и неравенства. Неравенства (16 ч) Числовые неравенства и их свойства.
Линейные неравенства с одной переменной и их решение. Системы линейных неравенств с одной переменной и их решение.
Квадратные неравенства и их решение.
Графическаяинтерпретациянеравенствисистем неравенств с двумя переменными. Читать,записывать,понимать,интерпретировать
неравенства; использовать символику и терминологию. Выполнять преобразования неравенств, использовать для преобразования свойства числовых неравенств.
Распознавать линейные и квадратные неравенства.
Решатьлинейныенеравенства,системылинейных неравенств, системы неравенств, включающих квадратное неравенство, и решать их; обсуждать полученные решения. Изображать решение неравенства и системы неравенств на числовойпрямой,записыватьрешениеспомощью символов.
Решать квадратные неравенства, используя графические представления.
Осваиватьиприменятьнеравенстваприрешении различных задач, в том числе практико-ориентированных.
Функции (16 ч) Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы. Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства.
Графики функций: y = kx, y = kx + b, , y = ax2, y = ax3, y
= √𝑥, y = 𝑘.
𝑥
Распознавать виды изучаемых функций; иллюстрировать схематически, объяснять расположение на координатной плоскости графиков функций вида: y = kx, y = kx + b, , y = ax2,y = ax3,
y = √х, y = в зависимости от значений коэффициентов;
х
описывать их свойства.
Распознавать квадратичную функцию по формуле.
Приводить примеры квадратичных зависимостей из реальной жизни, физики, геометрии.
Выявлять и обобщать особенности графика квадратичной функции y = ax2 + bx + c (при необходимости с направляющей помощью).
Строить и изображать схематически графики квадратичных функций, заданных формулами вида y = ax2, y = ax2 + q, y
= a(x + p)2, y = ax2 + bx + c (при необходимости с визуальной опорой).
Анализировать и применять свойства изученных функций для их построения, в том числе с помощью цифровых ресурсов.
Числовые последовательнос ти
(15 ч) Понятие числовой последовательности.
Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n- го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками на координатной плоскости.
Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты. Осваивать и применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последовательности.
Анализировать формулу n-го члена последовательности или рекуррентную формулу и вычислять члены последовательностей, заданных этими формулами. Устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько её членов.
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания.
Решать задачи с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов с опорой на справочную информацию.
Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
Рассматривать примеры процессов и явлений из реальной жизни, иллюстрирующие изменение в арифметической прогрессии, в геометрической прогрессии; изображать
соответствующие зависимости графически.
Решать простейшие задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни с использованием цифровых технологий (электронных таблиц, графического калькулятора и т.п.).
Решать задачи на сложные проценты, в том числе задачи из реальной практики (с использованием калькулятора).
Знакомиться с историей развития математики.
Повторение, обобщение, систематизация знаний1
(18 ч) Числа и вычисления (запись, сравнение, действия с действительными числами, числовая прямая; проценты, отношения, пропорции; округление, приближение, оценка; решение текстовых задач арифметическим способом).
Алгебраическиевыражения(преобразование алгебраических выражений, допустимые значения).
Функции (построение, свойства изученных функций; графическое решение уравнений и их систем). Оперироватьпонятиями:множество,подмножество, операции над множествами; использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов. Актуализировать терминологию и основные действия, связанные с числами: натуральное число, простое и составное числа, делимость натуральных чисел, признаки делимости, целое число, модуль числа, обыкновенная и десятичная дроби, стандартный вид числа, арифметический квадратный корень.
Выполнять действия, сравнивать и упорядочивать числа, представлять числа на координатной прямой, округлять числа; выполнять прикидку и оценку результата вычислений.
Решать текстовые задачи арифметическим способом. Решать практические задачи, содержащие проценты, доли, части, выражающие зависимости: скорость — время —
расстояние, цена — количество — стоимость, объём работы — время — производительность труда.
Разбирать реальные жизненные ситуации, формулировать их на языке математики, находить решение, применяя математический аппарат, интерпретировать результат
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, арифметический квадратный корень, многочлен,
алгебраическая дробь, тождество.
Выполнять основные действия: выполнять расчёты по формулам, преобразовывать целые, дробно-рациональные выражения и выражения с корнями, реализовывать разложение многочлена на множители, в том числе с использованием формул разности квадратов и квадрата суммы и разности (с опорой на справочную информацию); находить допустимые значения переменных для дробно- рациональных выражений, корней.
Моделировать с помощью формул реальные процессы и явления.
Оперировать понятиями: функция, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения функции.
Анализировать, сравнивать, обсуждать свойства функций,
строить их графики.
Оперировать понятиями: прямая пропорциональность, обратная пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, парабола, гипербола.
Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей, для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни; моделировать с помощью графиков реальные процессы и явления.
Выражать формулами зависимости между величинами.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ» (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
класс (не менее 68 ч)
Название раздела (темы) Основное содержание Основные виды деятельности обучающихся
курса (число часов)
Простейшие Простейшие геометрические объекты: точки, прямые, лучи Формулировать основные понятия и определения.
геометрические и углы, многоугольник, ломаная. Распознаватьизученныегеометрическиефигуры,
фигуры Смежные и вертикальные углы. определятьихвзаимноерасположение,выполнять
и их свойства. Работа с простейшими чертежами. чертёж по условию задачи (с использованием смысловой
Измерение Измерение линейных и угловых величин, вычисление опоры: наводящие вопросы и/или алгоритма учебных
геометрических отрезков и углов. действий).
величин Периметриплощадьфигур,составленныхиз Проводить простейшие построения с помощью циркуля и
(14 ч) прямоугольников. линейки.
Измерять линейные и угловые величины геометрических и
практических объектов.
Определять«наглаз»размерыреальныхобъектов,
проводить грубую оценку их размеров.
Решать задачи на вычисление длин отрезков и величин
углов.
Решать задачи на взаимное расположение геометрических
фигур.
Проводить классификацию углов, вычислять линейные и
угловые величины, проводить несложные необходимые
доказательные рассуждения.
Знакомиться с историей развития геометрии.
Треугольники Понятиеоравныхтреугольникахипервичные Распознавать пары равных треугольников на готовых
(22 ч) представления о равных (конгруэнтных) фигурах. Три чертежах (с указанием признаков) при необходимости с
признака равенства треугольников. визуальной опорой.
Признакиравенствапрямоугольныхтреугольников. Выводитьследствия(равенствсоответствующих
Свойство медианы прямоугольного треугольника. элементов) из равенств треугольников.
Равнобедренные и равносторонние треугольники. Признаки Формулироватьопределения:остроугольного,
и свойства равнобедренного треугольника. тупоугольного,прямоугольного,равнобедренного,
Против большей стороны треугольника лежит больший равностороннеготреугольников;биссектрисы,высоты,
угол. медианытреугольника;серединногоперпендикуляра
Простейшиенеравенствавгеометрии.Неравенство треугольника. Неравенство ломаной.
Прямоугольный треугольник с углом в 30o. Первые понятия о доказательствах в геометрии. отрезка; периметра треугольника при необходимости с опорой на алгоритм правила.
Формулировать свойства и признаки равнобедренного треугольника.
Строить чертежи, решать задачи с помощью нахождения равных треугольников.
Применять признаки равенства прямоугольных треугольников в задачах (с использованием смысловой опоры: наводящие вопросы и/или алгоритма учебных действий).
Использоватьцифровыересурсыдляисследования
свойств изучаемых фигур.
Знакомиться с историей развития геометрии.
Параллельные прямые, сумма углов треугольника (14 ч) Параллельные прямые, их свойства. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы (образованные при пересечении параллельных прямых секущей).
Признак параллельности прямых через равенство расстояний от точек одной прямой до второй прямой.
Сумма углов треугольника и многоугольника. Внешние углы треугольника Формулировать понятие параллельных прямых,
находить практические примеры.
Изучать свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей
Проводить доказательства. Формулировать теорему параллельности двух прямых с помощью углов, образованных при пересечении этих прямых третьей прямой.
Вычислять сумму углов треугольника и многоугольника. Находитьчисловыеибуквенныезначенияугловв геометрических задачах с использованием теорем о сумме углов треугольника и многоугольника.
Знакомиться с историей развития геометрии.
Окружность и круг.
Геометрические построения
(14 ч) Окружность, хорды и диаметры, их свойства. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в угол. Понятие о ГМТ, применение в задачах. Биссектриса и серединный перпендикуляр как геометрические места точек.
Окружность, описанная около треугольника. Вписанная в Формулировать определения: окружности, хорды, диаметра и касательной к окружности. Изучать их свойства, признаки, строить чертежи.
Исследовать, в том числе используя цифровые ресурсы: окружность, вписанную в угол; центр окружности,
треугольник окружность. вписанной в угол; равенство отрезков касательных
Простейшие задачи на построение. Использовать метод ГМТ для доказательства теорем о
пересечении биссектрис углов треугольника и серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника с помощью
ГМТ.
Овладеватьпонятиямивписаннойиописанной
окружностейтреугольника,находитьцентрыэтих
окружностей с опорой на алгоритм правила.
Решать основные задачи на построение: угла, равного
данному; серединного перпендикуляра данного отрезка;
прямой,проходящейчерезданнуюточкуи
перпендикулярной данной прямой; биссектрисы данного
угла;треугольниковпоразличнымэлементампри
необходимости с направляющей помощью.
Знакомиться с историей развития геометрии.
Повторение, Повторение и обобщение основных понятий и методов Решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи
обобщение курса 7 класса. между различными частями курса.
знаний
(4 ч)
класс (не менее 68 ч)
Название раздела (темы) курса (число часов)
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
Четырёхугольник и Параллелограмм, его признаки и свойства. Частные случаи параллелограммов(прямоугольник,ромб,квадрат),их Изображать и находить на чертежах четырёхугольники разных видов и их элементы.
(12 ч) признаки и свойства. Трапеция. Равнобокая и прямоугольная трапеции.
Удвоение медианы. Центральная симметрия Формулировать определения: параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции, равнобокой трапеции, прямоугольной трапеции.
Использовать при решении простейших задач признаки и свойства: параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции, равнобокой трапеции, прямоугольной трапеции.
Применять метод удвоения медианы треугольника с опорой на алгоритм правила.
Использовать цифровые ресурсы для исследования свойств изучаемых фигур.
Знакомиться с историей развития геометрии.
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональн ых отрезках, подобные треугольники (15 ч) Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках. Средняя линия треугольника. Трапеция, её средняя линия. Пропорциональныеотрезки,построениечетвёртого пропорционального отрезка.
Свойства центра масс в треугольнике.
Подобныетреугольники.Трипризнакаподобия треугольников. Практическое применение. Проводить построения с помощью циркуля и линейки с использование теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках, строить четвёртый пропорциональный отрезок с опорой на зрительную наглядность.
Находить подобные треугольники на готовых чертежах с указанием соответствующих признаков подобия при необходимости с визуальной опорой.
Решать задачи на подобные треугольники с помощью самостоятельного построения чертежей и нахождения подобных треугольников при необходимости с направляющей помощью.
Проводить доказательства с использованием признаков подобия несложных геометрических задач с опорой на алгоритм учебных действий.
Применять полученные знания при решении геометрических и практических задач при необходимости с направляющей помощью.
Знакомиться с историей развития геометрии.
Площадь.
Нахождение площадей треугольников
и многоугольных фигур. Площади подобных фигур (14 ч) Понятие об общей теории площади.
Формулы для площади треугольника, параллелограмма. Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой.
Вычисление площадей сложных фигур через разбиение на части и достроение.
Площади фигур на клетчатой бумаге.
Площади подобных фигур. Вычисление площадей. Задачи с практическим содержанием. Решение задач с помощью метода вспомогательной площади. Овладевать первичными представлениями об общей теории площади (меры), формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл.
Применять формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции с опорой на справочную информацию.
Применятьформулыплощадивыпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними с опорой на справочную информацию.
Находить площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, использовать разбиение на части и достроение. Разбирать примеры использования вспомогательной площади для решения геометрических задач.
Находитьплощадиподобныхфигурсопоройна справочную информацию.
Вычислять площади различных многоугольных фигур. Решать задачи на площадь с практическим содержанием после совместного анализа.
Теорема
Пифагора и начала тригонометрии (10 ч) Теорема Пифагора, её доказательство и применение. Обратная теорема Пифагора.
Определение тригонометрических функций острого угла, тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Основное тригонометрическое тождество.
Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках с углами в 45о и 45о; 30о и 60о. Формулировать теорему Пифагора, использовать её в практических вычислениях.
Владеть понятиями тригонометрических функций острого угла, проверять их корректность.
Выводить тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике с опорой на справочную информацию.
Исследовать соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках с углами в 45° и 45°; 30° и 60° с направляющей помощью.
Использоватьформулыприведенияиосновное тригонометрическое тождество для нахождения соотношениймеждутригонометрическимифункциями различныхострыхугловсопоройнасправочную
информацию.
Применять полученные знания и умения при решении практических задач (при необходимости с опорой на алгоритм правила).
Знакомиться с историей развития геометрии.
Углы в Вписанные и центральные углы, угол между касательной и Формулировать основные определения, связанные с
окружности. хордой. углами в круге (вписанный угол, центральный угол).
Вписанные Углы между хордами и секущими. Находить вписанные углы, опирающиеся на одну дугу,
и описанные Вписанные и описанные четырёхугольники, их признаки и вычислять углы с помощью теоремы о вписанных углах,
четырехугольник свойства.Применениеэтихсвойствприрешении теоремы о вписанном четырёхугольнике, теоремы о
и. геометрических задач. центральном угле при необходимости с визуальной
Касательные Взаимноерасположениедвухокружностей.Касание опорой.
к окружности. окружностей. Исследовать, в том числе с помощью цифровых ресурсов,
Касание вписанные и описанные четырёхугольники, выводить их
окружностей свойства и признаки после совместного анализа.
(13 ч) Использовать эти свойства и признаки при решении
задач.
Повторение, Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 Решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи
обобщение классов, обобщение знаний. между различными частями курса.
знаний
(4 ч)
класс (не менее 68 ч)
Название раздела (темы) курса (число часов)
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов.
Решение треугольников (16 ч) Определение тригонометрических функций углов от 0о до 180о. Косинус и синус прямого и тупого угла. Теорема косинусов. (Обобщённая) теорема синусов (с радиусом описанной окружности). Нахождение длин сторон и величин углов треугольников.
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними. Формула площади четырёхугольника через его диагонали и угол между ними.
Практическое применение доказанных теорем. Формулировать определения тригонометрических функций тупых и прямых углов с визуальной опорой. Формулировать теорему косинусов и теорему синусов (с радиусом описанной окружности).
Решать треугольники с опорой на алгоритм учебных действий.
Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника.
Преобразование подобия.
Метрические соотношения в окружности (10 ч) Понятие о преобразовании подобия. Соответственные элементы подобных фигур.
Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной. Применение в решении геометрических задач. Осваивать понятие преобразования подобия. Исследовать отношение линейных элементов фигур при преобразовании подобия. Находить примеры подобия в окружающей действительности.
Выводить метрические соотношения между отрезками хорд, секущих и касательных с использованием вписанных углов и подобных треугольников.
Решать геометрические задачи и задачи из реальной жизни с использованием подобных треугольников.
Векторы (12 ч) Определение векторов, сложение и разность векторов, умножение вектора на число.
Физический и геометрический смысл векторов.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов, его применение для нахождения длин и углов.
Решение задач с помощью векторов.
Применение векторов для решения задач кинематики и механики. Использовать векторы как направленные отрезки, исследовать геометрический (перемещение) и физический (сила) смыслы векторов с опорой на вопросный план.
Знать определения суммы и разности векторов, умножения вектора на число, исследовать геометрический и физический смыслы этих операций.
Решать геометрические задачи с использованием векторов.
Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам. Использовать скалярное произведение векторов, выводить его основные свойства.
Вычислять сумму, разность и скалярное произведение
векторов в координатах.
Применять скалярное произведение для нахождения длин и углов.
Декартовы Декартовы координаты точек на плоскости. Осваивать понятие прямоугольной системы координат,
координаты на Уравнение прямой. Угловой коэффициент, тангенс угла декартовых координат точки.
плоскости наклона, параллельные и перпендикулярные прямые. Исследовать уравнение прямой и окружности с опорой на
(9 ч) Уравнениеокружности.Нахождениекоординатточек вопросный план.
пересечения окружности и прямой. Находить центр и радиус окружности по её уравнению.
Метод координат при решении геометрических задач. Решать задачи на нахождение точек пересечения прямых
Использование метода координат в практических задачах и окружностей с помощью метода координат.
Использовать свойства углового коэффициента прямой
при решении задач, для определения расположения
прямой.
Применять координаты при решении геометрических и
практических задач, для построения математических
моделей реальных задач («метод координат»).
Пользоватьсядляпостроенияиисследований
цифровыми ресурсами.
Знакомиться с историей развития геометрии
Правильные многоугольники. Длина окружности и Правильные многоугольники, вычисление их элементов. Число 𝜋 и длина окружности. Длина дуги окружности. Радианная мера угла.
Площадь круга и его элементов (сектора и сегмента). Формулироватьопределениеправильных многоугольников, находить их элементы.
Пользоваться понятием длины окружности, введённым с помощьюправильныхмногоугольников,определять
площадь круга. Вычисление
площадей Вычисление площадей фигур, включающих элементы круга. число 𝜋, длину дуги и радианную меру угла по образцу.
Проводить переход от радианной меры угла к градусной и наоборот по визуальной опоре.
(8 ч) Определять площадь круга.
Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг, площадей секторов и сегментов с опорой на
вопросный план.
Вычислятьплощадифигур,включающихэлементы
окружности (круга) с опорой на справочную информацию.
Находить площади в задачах реальной жизни.
Движения плоскости (6 ч) Понятие о движении плоскости.
Параллельный перенос, поворот и симметрия. Оси и центры симметрии.
Простейшие применения в решении задач. Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения, центров и осей симметрии.
Формулировать определения параллельного переноса, поворота и осевой симметрии с визуальной опорой. Находить неподвижные точки по образцу.
Находить центры и оси симметрий простейших фигур по образцу.
Применять параллельный перенос и симметрию при решении геометрических задач (разбирать примеры).
Использовать для построения и исследований цифровые ресурсы.
Повторение, Повторение основных понятий и методов курсов 7—9 Оперировать понятиями: фигура, точка, прямая, угол,
обобщение, классов, обобщение и систематизация знаний. многоугольник,равнобедренныйиравносторонний
систематизация Простейшиегеометрическиефигурыиихсвойства. треугольники,прямоугольныйтреугольник,медиана,
знаний2 (7 ч) Измерение геометрических величин. Треугольники.
Параллельные и перпендикулярные прямые. биссектриса и высота треугольника, параллелограмм,
ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция; окружность, касательная; равенство и подобие фигур, треугольников;
Окружность и круг. Геометрические построения. Углы в параллельностьиперпендикулярностьпрямых,угол
окружности.Вписанныеиописанныеокружности междупрямыми,симметрияотносительноточкии
многоугольников. прямой; длина, расстояние, величина угла, площадь,
Прямая и окружность. периметр.
Четырёхугольники.Вписанныеиописанные Использоватьформулы:периметраиплощади
четырехугольники. многоугольников, длины окружности и площади круга,
Теорема Пифагора и начала тригонометрии. Решение общих объёма прямоугольного параллелепипеда.
треугольников. Оперироватьпонятиями:прямоугольнаясистема
Правильные многоугольники. координат,вектор;использоватьэтипонятиядля
Преобразования плоскости. Движения. Подобие. Симметрия. представления данных и решения задач, в том числе из
Площадь. Вычисление площадей. Площади подобных фигур. других учебных предметов.
Декартовы координаты на плоскости. Решатьзадачинаповторениеосновныхпонятий,
Векторы на плоскости. иллюстрацию связей между различными частями курса.
Выбирать метод для решения задачи.
Решать задачи из повседневной жизни.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА»
(ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
класс (не менее 34 ч)
Название раздела (темы) (число часов)
Основное содержание
Характеристика деятельности обучающихся
Представление данных
(7 ч) Представление данных в таблицах. Практические вычисления по табличным данным. Извлечение и интерпретация табличных данных. Практическая работа
«Таблицы».
Графическое представление данных в виде круговых, столбиковых (столбчатых) диаграмм. Чтение и построение диаграмм. Примеры демографических диаграмм.
Практическая работа «Диаграммы». Осваивать на базовом уровне способы представления статистических данных и числовых массивов с помощью таблиц и диаграмм с использованием актуальных и важных данных (демографическиеданные,производство промышленной и сельскохозяйственной продукции, общественные и природные явления).
Изучать методы работы с табличными и графическими представлениями данных с помощью цифровых ресурсов в ходе практических работ (с направляющей помощью).
Описательная статистика
(8 ч) Числовые наборы. Среднее арифметическое. Медиана числового набора. Устойчивость медианы. Практическая работа «Средние значения».
Наибольшее и наименьшее значения числового набора. Размах. Осваивать на базовом уровне понятия: числовой набор, мера центральной тенденции (мера центра), в том числе среднее арифметическое, медиана.
Описывать статистические данные с помощью среднего арифметического и медианы. Решать задачи (с использованием зрительной наглядности и/или вербальной опоры)
Изучать свойства средних, в том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе практических работ, (с направляющей помощью).
Осваивать на базовом уровне понятия: наибольшее и наименьшее значения числового массива, размах.
Решать задачи на выбор способа описания данных в соответствии с природой данных и целями исследования с направляющей помощью.
Случайная
изменчивость (6 ч) Случайная изменчивость (примеры). Частота значений в массиве данных. Группировка. Гистограммы.
Практическая работа «Случайная изменчивость». Осваивать понятия: частота значений в массиве данных, группировка данных, гистограмма.
Строить гистограммы по образцу
Осваивать графические представления разных видов случайной изменчивости, в том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе практической работы.
Введение в теорию графов (4 ч) Граф, вершина, ребро. Представление задачи с помощью графа. Степень (валентность) вершины. Число рёбер и суммарная степень вершин. Цепь и цикл. Путь в графе. Представление о связности графа. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированных графах. Осваивать понятия: граф, вершина графа, ребро графа, степень (валентность вершины), цепь и цикл. Осваивать понятия: путь в графе, эйлеров путь, обход графа, ориентированный граф.
Обсуждать решение задачи на поиск суммы степеней вершин графа, на поиск обхода графа, на поиск путей в ориентированных графах с направляющей помощью.
Осваивать способы представления задач из курса алгебры, геометрии, теории вероятностей, других
предметов с помощью графов (карты, схемы, электрические цепи, функциональные соответствия) на примерах.
Вероятность и Случайный опыт и случайное событие. Вероятность и Осваивать понятия: случайный опыт и случайное
частота частота события. Роль маловероятных и практически событие, маловероятное и практически достоверное
случайного достоверных событий в природе и в обществе. Монета и событие.
события игральная кость в теории вероятностей. Изучатьзначимостьмаловероятныхсобытийв
(4 ч) Практическая работа «Частота выпадения орла». природе и обществе на важных примерах (аварии,
несчастныеслучаи,защитаперсональной
информации, передача данных).
Изучать роль классических вероятностных моделей
(монета, игральная кость) в теории вероятностей.
Наблюдать и изучать частоту событий в простых
экспериментах, в том числе с помощью цифровых
ресурсов, в ходе практической работы.
Обобщение, Представлениеданных.Описательная статистика. Повторятьизученноеивыстраиватьсистему
контроль Вероятность случайного события. знаний.
(5 ч) Решать задачи на представление и описание данных с
помощью изученных характеристик с направляющей
помощью.
Обсуждатьпримерыслучайныхсобытий,
маловероятных и практически достоверных случайных
событий, их роли в природе и жизни человека
класс (не менее 34 ч)
Название раздела (темы) Основное содержание Характеристика деятельности обучающихся
(число часов)
Повторение курса 7 класса
(4 ч) Представлениеданных.Описательнаястатистика. Случайная изменчивость. Средние числового набора.
Случайные события. Вероятности и частоты. Классические модели теории вероятностей: монета и игральная кость. Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
Решать задачи (по визуальной опоре) на представление и описание данных с помощью изученных характеристик.
Решать задачи (по визуальной опоре) на представление группированных данных и описание случайной изменчивости.
Решать задачи (по визуальной опоре) на определение частоты случайных событий, обсуждение примеров случайных событий, маловероятных и практически достоверных случайных событий, их роли в природе и жизни человека.
Описательная статистика.
Рассеивание данных
(4 ч) Отклонения. Дисперсия числового набора. Стандартное отклонение числового набора. Диаграммы рассеивания. Осваивать понятия: дисперсия и стандартное отклонение, использовать эти характеристики для описания рассеивания данных.
Участвовать в обсуждении гипотезы об отсутствии или наличии связи по диаграммам рассеивания.
Строить диаграммы рассеивания по имеющимся данным, в том числе с помощью компьютера (после совместного анализа).
Множества (4 ч) Множество, подмножество. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения.
Графическое представление множеств. Осваивать понятия: множество, элемент множества, подмножество.
Выполнятьоперациинадмножествами: объединение, пересечение, дополнение (по образцу). Использоватьсвойства:переместительное, сочетательное,распределительное,включения(с использованием визуальной опоры).
Использовать графическое представление множеств
при описании реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов и курсов (с использованием визуальной опоры).
Вероятность Элементарныесобытия. Случайныесобытия. Осваиватьнабазовомуровнепонятия:
случайного Благоприятствующие элементарные события. Вероятности элементарноесобытие,случайноесобытиекак
события событий. Опыты с равновозможными элементарными совокупностьблагоприятствующихэлементарных
(6 ч) событиями. Случайный выбор. событий, равновозможные элементарные события.
Практическая работа «Опыты с равновозможными Решать задачи на вычисление вероятностей событий
элементарными событиями». по вероятностям элементарных событий случайного
опыта (с использованием зрительной наглядности
и/или вербальной опоры).
Решать задачи на вычисление вероятностей событий
вопытахсравновозможнымиэлементарными
событиями, в том числе с помощью компьютера (с
использованиемзрительнойнаглядностии/или
вербальной опоры).
Проводить и изучать опыты с равновозможными
элементарными событиями (с использованием монет,
игральныхкостей,другихмоделей)
входепрактическойработы(сиспользованием
визуальной опоры).
Введение в Дерево.Свойствадерева: единственностьпути, Осваивать понятия: дерево как граф без цикла,
теорию графов существование висячей вершины, связь между числом висячая вершина (лист), ветвь дерева, путь в дереве,
(4 ч) вершин и числом рёбер. Правило умножения. диаметр дерева.
Изучать свойства дерева: существование висячей
вершины,единственностьпутимеждудвумя
вершинами, связь между числом вершин и числом
рёбер.
Участвовать в обсуждении решения задачи на поиск
и перечисление путей в дереве, определение числа
вершин или рёбер в дереве, обход бинарного дерева, в
том числе с применением правила умножения.
Случайные Противоположноесобытие.ДиаграммаЭйлера. Осваиватьпонятия:взаимнопротивоположные
события Объединениеипересечениесобытий.Несовместные события, операции над событиями, объединение и
(8 ч) события. Формула сложения вероятностей. Правило пересечение событий, диаграмма Эйлера (Эйлера—
умножениявероятностей.Условнаявероятность. Венна), совместные и несовместные события.
Независимыесобытия.Представлениеслучайного Изучать теоремы о вероятности объединения двух
эксперимента в виде дерева. событий (формулы сложения вероятностей).
Участвовать в обсуждении решения задачи, в том
числе текстовые задачи на определение вероятностей
объединения и пересечения событий с помощью
числовойпрямой,диаграммЭйлера,формулы
сложения вероятностей.
Осваиватьпонятия:правилоумножения
вероятностей, условная вероятность, независимые
события дерево случайного опыта.
Изучатьсвойства(определения)независимых
событий.
Участвовать в обсуждении решениязадачи на
определение и использование независимых событий.
Участвовать в обсуждении решениязадачи на
поисквероятностей,втомчислеусловных,с
использованием дерева случайного опыта.
Обобщение, Представление данных. Описательная статистика. Графы. Повторятьизученноеивыстраиватьсистему
контроль Вероятностьслучайногособытия.Элементы знаний.
(4 ч) комбинаторики. Решать задачи на представление и описание данных с
помощьюизученныххарактеристик(с
использованием визуальной опоры).
Участвовать в обсуждении решения задачи с
применением графов.
Решатьзадачинанахождениевероятности
случайного события по вероятностям элементарных
событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями (с визуальной опорой).
Участвовать в обсуждении решения задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том числе независимых, с использованием графических представлений и дерева случайного опыта.
Участвовать в обсуждении решения задачи на перечисление комбинаций (числа перестановок, числа сочетаний), на нахождение вероятностей событий с применением комбинаторики, в том числе с использованием треугольника Паскаля.
класс (не менее 34 ч)
Название раздела (темы) (число часов)
Основное содержание
Характеристика деятельности обучающихся
Повторение курса 8 класса
(4 ч) Представлениеданных.Описательнаястатистика. Операции над событиями. Независимость событий. Повторятьизученноеивыстраиватьсистему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных. Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том числе независимых, с использованием графических представлений и дерева случайного опыта.
Решать задачи на перечисление комбинаций (числа перестановок, числа сочетаний), на нахождение вероятностей событий с применением комбинаторики,
в том числе с использованием треугольника Паскаля
Элементы комбинаторики (4 ч) Комбинаторное правило умножения. Перестановки. Факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля. Практическая работа «Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций электронных таблиц». Осваивать на базовом уровне понятия: комбинаторное правило умножения, упорядоченная пара, тройка объектов, перестановка, факториал числа, сочетание, число сочетаний, треугольник Паскаля.
Решать простейшие задачи на перечисление упорядоченных пар, троек, перечисление перестановок и сочетаний элементов различных множеств (по образцу).
Решать простейшие задачи на применение числа сочетаний в алгебре (сокращённое умножение, бином Ньютона) (с направляющей помощью).
Решать, применяя комбинаторику, задачи на вычисление вероятностей, в том числе с помощью электронных таблиц в ходе практической работы (с визуальной опорой).
Геометрическая вероятность
(4 ч) Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности. Осваивать понятие геометрической вероятности. Участвовать в обсуждении решения задачи на нахождение вероятностей в опытах, представимых как выбор точек из многоугольника, круга, отрезка или дуги окружности, числового промежутка
Испытания Бернулли (6 ч) Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Испытания Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли. Практическая работа
«Испытания Бернулли». Осваивать на базовом уровне понятия: испытание, элементарное событие в испытании (успех и неудача), серия испытаний, наступление первого успеха (неудачи), серия испытаний Бернулли.
Решать простейшие задачи на нахождение вероятностей событий в серии испытаний до первого успеха, в том числе с применением формулы суммы геометрической прогрессии (с опорой на справочную информацию).
Решать простейшие задачи на нахождение
вероятностей элементарных событий в серии испытаний Бернулли, на нахождение вероятности определённого числа успехов в серии испытаний Бернулли (с визуальной опорой).
Изучать в ходе практической работы, в том числе с помощью цифровых ресурсов, свойства вероятности в серии испытаний Бернулли
Случайная Случайнаявеличинаираспределениевероятностей. Освоить на базовом уровне понятия: случайная
величина Математическоеожиданиеидисперсияслучайной величина,значениеслучайнойвеличины,
(6 ч) величины.Примерыматематическогоожиданиякак распределение вероятностей.
теоретического среднего значения величины. Изучатьиобсуждатьпримерыдискретныхи
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей непрерывных случайных величин (рост, вес человека,
с помощью частот. Применение закона больших чисел. численность населения, другие изменчивые величины,
рассматривавшиеся в курсе статистики), модельных
случайныхвеличин,связанныхсослучайными
опытами (бросание монеты, игральной кости, со
случайным выбором и т. п.).
Осваиватьнабазовомуровнепонятия:
математическое ожидание случайной величины как
теоретическое среднее значение, дисперсия случайной
величины как аналог дисперсии числового набора.
Решатьзадачинавычислениематематического
ожиданияидисперсиидискретнойслучайной
величины по заданному распределению, в том числе
задач, связанных со страхованием и лотереями (с
направляющей помощью).
Знакомитьсясматематическиможиданиеми
дисперсией некоторых распределений, в том числе
распределения случайной величины «число успехов» в
серии испытаний Бернулли.
Изучатьчастотусобытиявповторяющихся
случайных опытах как случайную величину.
Знакомиться с законом больших чисел (в форме Бернулли): при большом числе опытов частота события близка к его вероятности.
Решать задачи на измерение вероятностей с помощью частот (с направляющей помощью).
Обсуждать роль закона больших чисел в обосновании частотного метода измерения вероятностей.
Обсуждать закон больших чисел как проявление статистической устойчивости в изменчивых явлениях, роль закона больших чисел в природе и в жизни человека.
Обобщение, контроль (10 ч) Представление данных. Описательная статистика. Вероятность случайного события. Элементы комбинаторики. Случайные величины и распределения. Повторятьизученноеивыстраивать систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных. Решать задачи на нахождение вероятностей событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарнымисобытиями,вероятностей объединения и пересечения событий, вычислять вероятности в опытах с сериями случайных испытаний
При разработке рабочей программы в тематическом планировании должны быть учтены возможности
использования электронных (цифровых) образовательных ресурсов, являющихся учебно-методическими материалами
(мультимедийные программы, электронные учебники и задачники, электронные библиотеки, виртуальные
лаборатории, игровые программы, коллекции цифровых образовательных ресурсов), используемыми для обучения и
воспитания различных групп пользователей, представленными в электронном (цифровом) виде и реализующими
дидактические возможности ИКТ, содержание которых соответствует законодательству об образовании.
