Хитрый торговец на рынке предлагает сыграть в игру. В наличии 10 мешочков с идентичными на вид монетами, в 9-ти из которых латунные экземпляры и только в одном золотые. Игроку необходимо указать на мешочек с золотом. Если выбор верен, то победителю достается золотая монета. В случае проигрыша игрок распрощается со своей ставкой. Известно, что вес золотого экземпляра в 2 раза больше веса латунного образца. Игрок может воспользоваться весами, но только дважды. Как же всего за два взвешивания решить логическую задачку и выиграть золото?
Решение задачи
Взвесим монету из первого мешочка и так израсходуем одну попытку, затем взвесим образец из какого-либо оставшегося, например из пятого. Если результаты взвешиваний оказались неравными, то можно уже радоваться победе. А если нет? Есть, конечно, вариант указать наугад, но вероятность не расстаться со своей ставкой составит в таком случае всего 12,5%. Как же обыграть хитрого торговца?
Для начала определим вес латунной и золотой монет. Для этого взвесим одновременно 10 экземпляров – по одному из каждого мешочка. Полученное число разделим на 11, так установим вес латунного образца, а увеличив полученное значение в два раза – золотого.
Осталось всего одно взвешивание – как же выиграть приз?
Проведем взвешивание по следующей схеме:
- из первого мешочка положим на весы одну монету;
- из второго – две;
- …
- из десятого – десять.
Таким образом, количество взвешиваемых монет из каждого мешочка соответствует его номеру. Если бы взвешивали только латунные экземпляры, то значение на весах равнялось бы весу латунной монеты умноженному на 55. А разница между результатами взвешивания и весом 55 латунных экземпляров как раз поможет определить номер искомого мешочка. Полученное значение разделим на разницу между весом золотой монеты и латунной. Готово. Задачка на логику решена.
Универсальное решение задачи
Определим универсальную формулу для любого количества мешочков и любой разницы в весе образцов. Обозначим:
- N – количество мешочков.
- Z – номер искомого мешочка.
- ВЛМ и ВЗМ – вес латунной и золотой монет соответственно.
- К – соотношение ВЗМ к ВЛМ.
- В1 и В2 – вес взвешивания первого (по одной штуке из мешочков от 1-го до N-го) и второго (одна штука из первого, две из второго, …, N экземпляров из N-го) наборов монет соответственно.
Проводим вычисления после первого взвешивания:
- ВЛМ = В1 / (N - 1 + К)
Определяем после второго взвешивания:
- Z = (В2 - ВЛМ х (1 + 2 + …+ N)) / (ВЗМ - ВЛМ)
А как вы бы разгадали загадку про хитрого торговца?