Задача: В прямоугольной трапеции ABCD угол D равен 60°. Из точки A на сторону CD опущен перпендикуляр AH, а на стороне AB взята точка E так, что отрезок CE параллелен отрезку AH. Найдите отношение BH : DE.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим четырёхугольник ABCH: противоположные ∠ABC + ∠AHD = 90° + 90° = 180° ⇒ ABCH можно вписать в окружность, диаметром которой будет являться AC, поскольку на него опирается вписанный прямой угол. По теореме синусов для хорд BH = AC * sin ∠BAH.
Найдём ∠BAH: в △AHD ∠HAD = 90° - 60° = 30°. ∠BAH = ∠BAD - ∠HAD = 90° - 30° = 60° ⇒ BH = AC * sin 60° = AC√3/2. (см рисунок)
Рассмотрим четырёхугольник AECD: противоположные ∠EAD + ∠ECD = 90° + 90° = 180° ⇒ AECD можно вписать в окружность, диаметром которой будет являться ED, поскольку на него опирается вписанный прямой угол. По теореме синусов для хорд ED = AC/sin ∠ADC = 2AC/√3.
⇒ BH:DE = (AC√3/2):(2AC/√3) = 3 : 4.
Ответ: 3 : 4
Задача решена.
