Задача: Стороны AB и BC треугольника равны 8 и 6, а угол между ними 150°. Из точки M, находящейся в одной полуплоскости с треугольником относительно прямой AC, эти стороны видны под углами 30°. Найдите отрезок MB.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
В вогнутом четырёхугольнике ABCB: ∠ABC = 360° - 150° = 210°; сумма углов вогнутого четырёхугольника равна 360° ⇒ ∠MAB + ∠MCB = 360° - 210° - 60° = 90°. Пусть ∠MAB = α, тогда ∠MCB = 90° - α.
В △MAB: по теореме синусов sin 30°/8 = sin α/BM ⇒ BM = (8sin α)/sin 30° = 16sin α.
В △MCB: по теореме синусов sin 30°/6 = sin (90° - α)/BM ⇒ BM = (6sin(90°-α))/sin 30° = 12cos α.
BM = 16sin α и BM = 12cos α, приравняем правые части:
16sin α = 12cos α
16sin α - 12cos α = 0 /делим обе части на 12cos α
4/3 * tg α - 1 = 0
4/3 * tg α = 1
tg α = 3/4
По таблице значений находим, что α ≈ 37°.
Так же по таблице значений находим, что sin 37° ≈ 0,6.
BM = 16sin α ⇒ BM = 16 * 0,6 = 9,6.
Ответ: 9,6.
Задача решена.