Серия «Решаем задачи по общей физике». Механика.
Разберем задачу 3.24 пособия, выпущенного на Физическом факультете МГУ (Т. А. Бушина и др. Механика. Сборник задач), из раздела «Неинерциальные системы отсчета».
3.24. По диаметру диска радиусом R высверлен канал, в котором вблизи центра диска находится шарик. Диск приводят во вращение вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью ω. Найти скорость, с которой шарик вылетит из канала. Трением пренебречь.
Свяжем систему отсчета с вращающимся диском. Эта система неинерциальная, поэтому в ней действуют силы инерции. На рисунке указаны все действующие на шарик силы: сила тяжести, центробежная сила инерции, сила Кориолиса и сила реакции опоры со стороны стенок канала (она уравновешивает все прочие поперечные силы). Второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета будет выглядеть так:
Поскольку шарик движется вдоль канала, у него нет поперечного ускорения. А значит, сумма последних трех сил равна нулю. И фактически уравнение движения приобретает вид
(здесь сразу взята его радиальная проекция).
Сократив на m получим хорошо известное дифференциальное уравнение, напоминающее уравнение гармонических колебаний
Разница только в знаке перед вторым слагаемым. Как известно, общим решением уравнения гармонических колебаний является линейная комбинация синуса и косинуса от ωt. В нашем случае общим решением будет линейная комбинация экспонент от ωt и –ωt. Однако, с такими функциями в этой задаче не очень удобно работать. Можно использовать альтернативный набор функций: гиперболические синус и косинус.
Напомним, как определяются гиперболические синус и косинус.
Аналог основного тригонометрического тождества (легко можно доказать прямым вычислением):
Производные (опять же, получаются прямым дифференцированием исходных выражений):
Через гиперболические функции общее решение уравнения (1) можно записать так:
Для нахождения постоянных a и b используем начальные условия.
В общем виде скорость дается выражением
В начальный момент получаем (учтено, что sh 0 = 0, ch 0 =1):
Получили на первый взгляд странный результат: r(t)=0 при любых t. Это означает, что в соответствии с этим решением шарик никуда не движется. На самом деле это правильный результат. Действительно, если шарик помещен точно в центр диска, то он будет находиться в положении равновесия (правда, неустойчивого) и никуда не покатится, пока его не выведут из этого положения.
Корректируем начальное условие
Пришло время ещё более внимательно вчитаться в условие задачи. Стоит обратить внимание на формулировку по поводу начального положения шарика: «вблизи центра диска». Это значит, что первое условие в (2) было выписано не совсем точно.
Бывают случаи, когда можно поменять местами операцию вычисления какой-либо величины и взятия предела, а бываю такие случаи, когда такую перестановку делать нельзя. Мы как раз столкнулись с последним. Мы вначале устремили к нулю расстояние от шарика до центра диска, а затем провели вычисления. И получили результат для другой задачи. Сейчас мы вначале сделаем вычисления, а потом устремим это расстояние к нулю. И результат окажется совершенно иным.
Вместо первого условия в (2) возьмём более аккуратное условие:
где ε – некоторое малое по сравнению с R расстояние.
Тогда первое уравнение в (3) заменится на следующее
И из (3) с модификацией (5) получим постоянные в общем решении:
Радиус-вектор и радиальная компонента скорости будут иметь вид
Найдем момент вылета шарика из канала t₁ из условия, что в этот момент r будет равно радиусу диска R.
Для вычисления скорости нам понадобится sh ωt₁. Выразим его через ch ωt₁. Тогда получим для скорости
Теперь учтем, что смещение шарика от центра диска в начальный момент малȯ: ε≪R. Тогда можно взять предел при ε→0
Мы нашли скорость шарика при вылете из канала относительно вращающегося диска. Эта скорость имеет только радиальную компоненту.
Если нас интересует скорость шарика в инерциальной системе, связанной с землей, то можно заметить, что радиальная компонента этой скорости будет такой же самой, но дополнительно еще нужно будет учесть наличие тангенциальной компоненты, обусловленной тем, что шарик во время движения по каналу вращается вместе с диском. При вылете, следовательно, он будет иметь тангенциальную скорость
как тело, вращающееся с угловой скоростью ω на расстоянии R от оси вращения.
Модуль полной скорости шарика при вылете из канала в инерциальной системе отсчета будет
Это и есть окончательный ответ.
Спасибо, что нашли время дочитать статью до конца. Лайки и комментарии помогут мне создавать еще более качественные статьи.
Видео с разбором задач по физике и математике можно посмотреть на моем сайте. Также на сайте можно найти мои контакты, если возникнет желание позаниматься со мной физикой или математикой. Я активно занимаюсь репетиторством по школьной программе (физика, математика, ЕГЭ, ОГЭ) и по вузовскому курсу Общей физики.
