Задача: Высоты AM и CN треугольника ABC пересекаются в точке H. Найдите длину отрезка BH, если AC = b, a угол ABC равен β.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
∠CNB = ∠AMB = 90°, так как CN и AM - высоты. Проведём NM.
Рассмотрим четырёхугольник NBMH: ∠CNB + ∠AMB = 180°, если противоположные стороны четырёхугольника в сумме дают 180°, тогда вокруг него можно описать окружность. В данной окружности BH - диаметр, поскольку на него опирается вписанный прямой ∠BMH.
По теореме синусов для хорд 2R = NM/sin β ⇒ BH = NM/sin β (см рисунок)
Рассмотрим четырёхугольник ANMC: ∠ANC = ∠AMC и оба угла "опираются" на AC ⇒ вокруг ANMC можно описать окружность, диаметром которой будет AC, поскольку на него опирается вписанный прямой ∠AMC.
По теореме синусов для хорд NM = 2R * sin∠NMC = b * sin∠NMC.
В прямоуг. △BNC: ∠NMC = 90° - β. ⇒ NM = b * sin(90° - β) = b * cos β.
⇒ BH = b * cos β/sin β = b * ctg β.
Ответ: b * ctg β.
Задача решена.
