Задача: Вне равностороннего треугольника ABC взята точка E так, что угол EAB равен 15°, а угол ABE равен 75°. Найдите расстояние от данной точки до середины стороны BC, если сторона треугольника равна 1.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Разберём 2 возможных случая расположения точки E.
СЛУЧАЙ №1
В △EAB: ∠AEB = 180° - 75° - 15° = 90°.
В △ABC: M по условию - середина стороны BC, тогда AM будет являться медианой, а по св-у равностороннего треугольника AM - высота и биссектриса ⇒ ∠AMB = 90°, а ∠BAM = 30°(см рисунок.)
Рассмотрим четырёхугольник AEBM: ∠AEB +AMB = 180°, если противоположные стороны четырёхугольника в сумме дают 180°, тогда вокруг него можно описать окружность. В данной окружности AB - диаметр, поскольку на него опираются вписанные прямые углы.
Тогда по теореме синусов для хорд EM = 2R * sin∠EAM = d * sin(15° + 30°) = AB * sin 45° = √2/2.
СЛУЧАЙ №2
∠CBE = ∠ABE - ∠ABC = 75° - 60° = 15°.
Так же, как и в прошлом случае, проведём медиану AM, по св-у равностороннего треугольника, AM - высота и биссектриса ⇒ ∠AMB = 90° и ∠BAM = 30°. ∠EAM = ∠BAM - ∠BAE = 30° - 15° = 15°.
Рассмотрим четырёхугольник ABEM: ∠CBE = ∠EAM и оба "опираются" на сторону EM ⇒ вокруг ABEM можно описать окружность, в которой AB - диаметр, поскольку на него опирается вписанный прямой ∠AMB.
Тогда по теореме синусов для хорд EM = 2R * sin∠EAM = d * sin 15° = AB * sin 15° = sin(45° - 30°) = sin 45° * cos 30° - cos 45° * sin 30° = √2/2 * √3/2 - √2/2 * 1/2 = (√6 - √2)/4.
Ответ: √2/2; (√6 - √2)/4.
Задача решена.