Задача: Диагонали четырёхугольника разбивают его на 4 треугольника. Центры окружностей, описанных вокруг них, образуют новый четырёхугольник. Найдите отношение площади нового четырёхугольника к площади данного, если угол между его диагоналями равен φ.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров его сторон ⇒ OC1 = CC1, BB1 = OB1, AA1 = OA1, OD1 = DD1.
Проведём OK, KC, KD; AM, OM, BM. Поскольку точки K и M - точки описанных окружностей, то OK = KC = KD и AM = OM = BM (см. рисунок).
Если, OK = KC, то △OKC - равнобедренный по определению, а KC1 - его медиана ⇒ по св-у р/б треугольника KC1 является его биссектрисой и высотой ⇒ AC⟂KN.
Так же доказываются BD⟂KN, AC⟂ML и BD⟂MN.
AC⟂KN и AC⟂ML ⇒ KN ∥ ML; BD⟂KN и BD⟂MN ⇒ KN ∥ MN. Тогда четырёхугольник MNKL - параллелограмм по определению.
Воспользуемся той же схемой вывода площади, как и в №37:
SMNKL = ML * LK * sin(∠MLK).
SMNKL = B1D1 * LK.
SMNKL = A1C1 * ML.
SMNKL = B1D1 * LK * A1C1 * ML/(ML * LK * sin(∠MLK)) = B1D1 * A1C1/sin(∠MLK).
B1D1 = BD/2; A1C1 = AC/2.
В четырёхугольнике A1LD1O: ∠A1LD1 = 360° - 90° - 90° - ∠MLK = 180° - φ.
⇒ sin(∠MLK) = sin(180° - φ) = sin(φ).
⇒ SMNKL = (BD/2 * AC/2)/sin(φ) = BD*AD/4sin(φ)
SABCD = 1/2 * AC * AD * sin(φ).
SMNKL/SABCD = (BD*AD/4sin(φ))/(1/2 * AC * AD * sin(φ)) = 1 / 2sin^2(φ).
Ответ: 1 / 2sin^2(φ).
Задача решена.