Задача: Пользуясь рисунком, докажите:
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Найдём sin α * cos α:
S△BCD = 1/2 * BC * CD.
BC = BD * cos α; CD = BD * sin α.
⇒ S△BCD = 1/2 * BD * cos α * BD * sin α = 1/2 * BD^2 * sin α * cos α ⇒ sin α * cos α = 2 * S△BCD/ BD^2.
Найдём sin β * cos β:
S△BAD = 1/2 * AB * AD.
AB = BD * cos β; AD = BD * sin β.
⇒ S△BAD = 1/2 * BD * cos β * BD * sin β = 1/2 * BD^2 * sin β * cos β ⇒ sin β * cos β = 2 * S△BAD/ BD^2.
Проведём диагональ AC.
Найдём cos α * cos β:
S△ABC = 1/2 * AB * BC = 1/2 * BD^2 * cos β * cos α * sin(∠ABC) = 1/2 * BD^2 * cos β * cos α * sin(α + β) ⇒ cos β * cos α = 2 * S△ABC / (BD^2 * sin(α +β)).
Найдём sin α * sin β:
S△ABC = 1/2 * CD * AD = 1/2 * BD^2 * sin α * sin β * sin(∠ADC) = 1/2 * BD^2 * sin α * sin β * sin(180° - (α + β)) = 1/2 * BD^2 * sin α * sin β * sin(α + β) ⇒ sin α * sin β = 2 * S△ADC / (BD^2 * sin(α +β)).
Теперь найдём (sin α * cos α + sin β * cos β) / (cos α * cos β + sin α * sin β):
(sin α * cos α + sin β * cos β) / (cos α * cos β + sin α * sin β) = (2 * (S△BCD + S△BAD)/ BD^2) / (2 * (S△ABC + S△ADC) / (BD^2 * sin(α +β))).
Посмотрим на чертёж:
S△BCD + S△BAD = SABCD.
S△ABC + S△ADC = SABCD.
Тогда, (sin α * cos α + sin β * cos β) / (cos α * cos β + sin α * sin β) = (2SABCD/ BD^2)/(2SABCD/ (BD^2 * sin(α +β))) = (2SABCD * BD^2 * sin(α +β)) / (2SABCD * BD^2) = sin(α +β).
Что и требовалось доказать.
Задача решена.