Задача: Внутри параллелограмма взяли точку. Из неё на все его стороны опустили перпендикуляры. Их основания образуют новый четырёхугольник. Найдите отношение площадей этого четырёхугольника и параллелограмма, если один из его углов равен φ.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Площадь ABCD можно выразить по-разному:
1. SABCD = AB * AD * sin φ
2. SABCD = MK * AD
3. SABCD = NL * AB
Умножим второе и третье равенства и разделим на первое:
S^2ABCD / SABCD = (MK * AD * NL * AB) / (AB * AD * sin φ) = MK * NL / sin φ.
Получаем ещё одну формулу площади параллелограмма:
SABCD = MK * NL / sin φ
SLKNM = 1/2 * LN * MK * sin (∠LOK). В четырёхугольнике ALOK: ∠LOK = 360° - 90° - 90° - φ = 180° - φ. ⇒ SLKNM = 1/2 * LN * MK * sin (180° - φ) = 1/2 * LN * MK * sin φ.
Тогда, SLKNM/SABCD = (1/2 * LN * MK * sin φ)/(MK * NL / sin φ) = sin^2 φ/2.
Ответ: sin^2 φ/2.
Задача решена.
