Задача: В окружность с радиусом 2 вписан треугольник с углами 15° и 45°. Найдите его площадь.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Начертим окружность с центром O и треугольник △ABC и проведём радиусы окружности к вершинам треугольника.
∠BOC = 2∠BAC = 30°, т.к ∠BOC и ∠BAC опираются на одну и ту же дугу, но при этом ∠BOC - центральный, а ∠BAC - вписанный. По той же причине ∠AOB = 2∠ACB = 90°. Рассмотрим △AOC: AO = OC = 2, поскольку они радиусы окружности ⇒ △AOC - равнобедренный по определению ⇒ ∠CAO = ∠ACO = (180° - ∠AOC) = 30° ⇒ поскольку ∠ACO = ∠BOC = 30°, то △OMC - равнобедренный по I признаку ⇒ OM =MC.
Рассмотрим △AOB: AB = AO/cos (∠BAO) = 2/cos 45° = 4/√2 = 2√2.
Найдём AC: AC = AM + MC = AM + MO. Рассмотрим △AOM: AM = AO/cos 30° = 4/√3; MO = AO * tg 30° = 2/√3 ⇒ AC = 4/√3 + 2/√3 = 6/√3 = 2√3.
S△ABC = 1/2 * AB * AC * sin 15°.
Остаётся найти синус 15°, найдём его значение:
sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin 45° * cos 30° - cos 45° * sin 30 ° = √2/2 * √3/2 - √2/2 * 1/2 = √6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4.
Итак, S△ABC = 1/2 * AB * AC * sin 15° = 1/2 * 2√2 * 2√3 * (√6 - √2)/4 = √6 * (√6 - √2)/2 = (6 - √12)/2 = (6 - 2√3)/2 = 2(3 - √3)/2 = 3 - √3.
Ответ: 3 - √3.
Задача решена.
