Задача: Острый угол прямоугольного треугольника равен α, а его гипотеза равна 1. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Рассмотрим четырёхугольник CNOM: все углы по 90° ⇒ CNOM - прямоугольник, смежные ON и OM равны ⇒ CNOM - квадрат. Отсюда, r = MC = CN. BN = BK и AM = AK по св-у отрезков касательных. BC = sin α; AC = cos α MC = AC - AM = cos α - AK; CN = BC - BN = sin α - BK ⇒ MC + CN = sin α + cos α - AK- BK. AK + BK = AC = 1, MC + CN = 2r ⇒ 2r = sin α + cos α - 1; r = (sin α + cos α - 1)/2. Ответ: (sin α + cos α - 1)/2. Задача решена.
Задача: Острый угол прямоугольного треугольника равен α, а его гипотеза равна 1. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим четырёхугольник CNOM: все углы по 90° ⇒ CNOM - прямоугольник, смежные ON и OM равны ⇒ CNOM - квадрат. Отсюда, r = MC = CN. BN = BK и AM = AK по св-у отрезков касательных. BC = sin α; AC = cos α
MC = AC - AM = cos α - AK; CN = BC - BN = sin α - BK ⇒
MC + CN = sin α + cos α - AK- BK.
AK + BK = AC = 1, MC + CN = 2r ⇒ 2r = sin α + cos α - 1; r = (sin α + cos α - 1)/2.
Ответ: (sin α + cos α - 1)/2.
Задача решена.