Задача: Найдите длину отрезка AB на клетчатой бумаге, если сторона одной клетки равна 1.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме синусов для хорд AB = 2R * sin∠AKB = d * sin∠AKB.
Диаметр можно найти, соединив данные 2 точки окружности:
По теореме Пифагора диаметр равен 3√2. Данная хорда будет являться диаметром, поскольку видна под прямым углом.
Рассмотрим 2 прямоугольных треугольника △MFN и △MEB с острыми углами γ и β (см рисунок)
В △MFN: по теореме Пифагора MN = √(1 + 2^2) = √5; sin γ = √5/5; cos γ = 2√5/5.
В △MEB: по теореме Пифагора MK = √(1 + 3^2) = √10; sin γ = √10/10; cos γ = 3√10/10.
sin∠AMB = sin(90° -(γ+β)) = cos(γ+β) = cos(γ)*cos(β) - sin(γ) * sin(β) = 2√5/5 * 3√10/10 - √5/5 * √10/10 = 30√2/50 - 5√2/50 = 3√2/5 - √2/10 =5√2/10 = √2/2.
AB = 3√2 * √2/2 = 3.
Ответ: 3.
Задача решена.
