Задача: Угол при основании равнобедренного треугольника равен α. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если основание равно a.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
ЧАСТЬ I
Существует лемма, которая говорит, что отрезок касательной равен радиусу, делённому на тангенс половины угла.
Докажем эту лемму:
Проведём отрезок AO. Рассмотрим образованные прямоугольные треугольники △AMO и △AKO:
1) MO = OK (как радиусы окружности)
2) AO - общая сторона
⇒ △AMO = △AKO по катету и гипотенузе ⇒ все соответственные элементы равны ⇒ ∠MAO = ∠KAO = α/2. tg(∠KAO) = OK/AK ⇒ AK = OK/tg(∠KAO) = OK/tg(α/2).
Что и требовалось доказать.
ЧАСТЬ II
Поскольку по лемме AK = OK/tg(α/2), то OK = AK * tg(α/2). По условию задачи нам дан угол α, следовательно радиус окружности нужно выразить через α. Для этого нужно найти tg(α/2). Существует формула tg(α/2) = sin α/(1+cos α). Попробуем её вывести:
Построим прямоугольный треугольник △ACB с гипотенузой AB и острым углом α. На продолжении луча CA отметим точку F так, что AF = AB.
Тогда △FAB - р/б по определению ⇒ ∠AFB = ABF. ∠BAC - внешний для треугольника △FAB и не смежный с углами ∠AFB и ABF ⇒ ∠BAC = ∠AFB + ABF ⇒ ∠AFB = ABF = α/2. (см. рисунок)
Рассмотрим △ACB: BC = AB * sin α; AC = AB * cos α.
Рассмотрим △FCB: tg(∠BFC) = BC/CF ⇒ tg(α/2) = (AB * sin α)/(FA + AC) = (AB * sin α)/(AB + AB * cos α) = sin α/(1 + cos α)
Что и требовалось доказать.
ЧАСТЬ III
Итак, мы остановились на том, что OK = AK * tg(α/2), по новой формуле можем преобразовать равенство в OK = (AK * sin α)/(1 + cos α).
Осталось найти AK. Проведём отрезок CO, по св-у вписанной окружности, CO - биссектриса ⇒ ∠OCA = ∠BCA/2 = α/2
⇒ △AOC - равнобедренный по I признаку, а OK - его высота. По св-у р/б △-а AK = KC. По условию AC = a ⇒ AK = a/2 (см. рисунок).
Тогда, OK = (a/2 * sin α)/(1 + cos α) = (a * sin α)/(2 + 2cos α).
Ответ: (a * sin α)/(2 + 2cos α)
Задача решена.