Задача: В правильный шестиугольник со стороной 1 вписали окружность. Точку её касания с одной из его сторон соединили с концами противоположной стороны. Найдите длину хорды, которую высекает на окружности полученный угол.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Поскольку по условию шестиугольник правильный, то окружность точкой касания делит каждую сторону пополам, и каждый получившийся отрезок равен 0,5.
Рассмотрим произвольный угол данного правильного шестиугольника: по лемме радиус окружности вписанной в этот угол равен произведению расстояния от вершины угла до точки касания и тангенса половинного угла. Поскольку все углы правильного шестиугольника равны по 120°, то r = 0,5 * tg 60° = √3/2.
Из вершины N проведём диаметр NH в точку касания с касательной AF, тогда NH = 2 * √3/2 = √3, и по св-у касательной ∠AFN = 90°. Два образовавшихся прямоугольных треугольника будут равны по двум катетам (NH - общий, AH = HF по вышедок.) ⇒ все соответственные элементы равны ⇒ ∠ANH = ∠FNH, обозначим их углами α (см рисунок).
В △AHN: AN^2 = AH^2 + HN^2; AN = √(0.5^2 + √3^2) = √13/2. sin α = (1/2)/(√13/2) = 1/√13 = √13/13. cos α = √3/(√13/2) = 2√3/√13.
По теореме синусов для хорд MK = 2r * sin 2α = 2√3 * 2 sin α * cos α = 2√3 * 2√13/13 * 2√3/√13 = 12/13.
Ответ: 12/13.
Задача решена.
