Задача: Отрезок соединяет вершину равнобедренного треугольника с произвольной точкой на его основании и разбивает данный треугольник на два треугольника. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около двух этих треугольников, равны.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Построим равнобедренный треугольник ABC с острым углом α, опустим чевиану BD на основание AC и опишем окружности с центрами O и O1 вокруг полученных треугольников ABD и CBD соответственно (см рисунок).
BD - общая хорда полученных окружностей. В △ABD: по теореме синусов для хорд sin α = BD/2r, отсюда радиус окружности с центром O: r = sin α * BD/2.
В △CBD: по той же теореме синусов для хорд sin α = BD/2r , отсюда радиус окружности с центром O1: r1 = sin α * BD/2.
Итак, r = r1.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.