Задача: В окружность радиуса R вписан треугольник с углом α. Продолжения двух его высот, опущенных из двух других его углов, пересекают эту окружность в точках K и E. Найдите длину отрезка KE.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим четырёхугольник LBNM: ∠LMN = 360° - 90° - 90° - α = 180° - α. ∠EMC = 180° - ∠KMN = α, так как ∠EMC и ∠KME - смежные (см рисунок)
Провёдем хорду EC. ∠AEC и ∠ABC опираются на дугу ◡AC ⇒ ∠AEC = ∠ABC = α.
Рассмотрим △MCE: ∠MCE = 180° - 2α. По теореме синусов для хорд KE = 2R * sin∠MCE = 2R * sin(180° - 2α) = 2R * sin(2α) = 4R * sin α * cos α.
Ответ: 4R * sin α * cos α.
Задача решена.
