Серия «Решаем задачи по общей физике». Механика.
Разберем задачу 3.12 из пособия, выпущенного на Физическом факультете МГУ (Т. А. Бушина и др. Механика. Сборник задач), относящуюся к разделу «Неинерциальные системы отсчета».
Решение задачи из вузовского курса «Общей физики» излагается максимально подробно и полно.
3.12. С какой горизонтальной силой F следует двигать клин с углом α при основании и массой M (см. рис.), чтобы лежащий на нём брусок массой m не перемещался относительно клина? Сила F направлена так, как показано на рисунке. Коэффициент трения скольжения между бруском и клином равен μ.
В этой задаче система отсчета, связанная с клином, движется поступательно с ускорением, поэтому она является неинерциальной системой, и в ней действует одна из сил инерции - поступательная.
Первым делом на рисунке отметим все действующие в системе силы. На брусок действуют: сила тяжести, сила реакции опоры со стороны клина, сила трения, сила инерции. Для определенности направим силу трения вдоль наклонной плоскости вниз, что соответствует возможному движению бруска вверх вдоль плоскости. На самом деле, при определенных условиях возможно движение бруска и вниз, чему будет отвечать направление силы трения вверх вдоль плоскости (этот случай также будет рассмотрен). На клин действуют: сила F, которая его двигает, сила тяжести, вес бруска, сила трения со стороны бруска, сила реакции опоры со стороны поверхности, на которой лежит клин.
Учтём, что нас интересует случай, когда брусок покоится относительно клина. А это значит, что эти два тела движутся как одно целое с одинаковым ускорением относительно земли. Поэтому можно записать второй закон Ньютона для системы в целом:
Здесь w – ускорение клина относительно земли. Поскольку это ускорение направлено горизонтально, то сумма трех вертикальных сил равна нулю:
А это значит, что
Откуда
Теперь запишем второй закон Ньютона для бруска:
где
– сила инерции, действующая на брусок в неинерциальной системе отсчета, связанной с ускоренно двигающимся клином.
Когда брусок не движется относительно клина, его ускорение a=0.
Сила трения в этом случае будет силой трения покоя, поэтому для нее выполняется ограничение:
1. Вначале рассмотрим случай, когда брусок потенциально может двигаться вверх по наклонной плоскости (относительно неинерциальной системы отсчета).
Выберем оси координат: ось x направим вдоль наклонной плоскости вниз влево, ось y – перпендикулярно плоскости вверх. Спроектируем уравнение (2) на оси x и y, учитывая, что a=0, и сила трения направлена влево вниз:
Отсюда найдем:
Подставим полученные выражения для сил трения и реакции опоры в неравенство (3):
Откуда
Если (1- μ tg α) ≤ 0, то (8) выполняется при любом значении ускорения w, то есть нет ограничений на величину силы F.
Если же наоборот (1- μ tg α) > 0, то есть μ < ctg α, то для выполнения (8) должно быть
Или, с учетом (1),
2. Теперь посмотрим, при каких условиях брусок потенциально может двигаться вниз по наклонной плоскости.
Из школьной задачи с покоящимся клином мы знаем, что лежащий на наклонной плоскости брусок будет скатываться вниз, когда коэффициент трения μ < tg α. Рассмотрим теперь именно такой случай. Тогда сила трения будет направлена вправо вверх вдоль плоскости (противоположно тому, что изображено на рисунке). При этом удерживаться в неподвижном состоянии брусок будет благодаря действию силы инерции, направленной вправо.
Теперь мы должны повторить вычисления, аналогичные первому случаю. Но нет необходимости полностью всё выписывать, достаточно указать, в каких местах произойдут изменения.
При проектировании уравнения (2) на ось x вместо (4) получится равенство, в котором сила трения будет стоять с противоположным знаком. И тогда вместо (6) надо взять соотношение
Выражение для N не изменится. Подставив модифицированную силу трения в (3), получим
Откуда найдем
или для силы F
Итог: Брусок будет покоиться в неинерциальной системе отсчета при следующих ограничениях на действующую силу F
- При μ < tg α брусок будет покоиться, если выполняется ограничение снизу на силу F
- При μ ≥ tg α ограничений снизу на F нет.
- При μ < ctg α брусок будет покоиться, когда сила F не превышает величину
- При μ ≥ ctg α ограничений сверху на силу F нет.
Ниже графически проиллюстрировано, какие действуют ограничения на F при разных значениях коэффициента трения и угла клина.
Спасибо, что нашли время дочитать статью до конца. Лайки и комментарии помогут мне создавать еще более качественные статьи.
Видео с разбором задач по физике и математике можно посмотреть на моем сайте. Также на сайте можно найти мои контакты, если возникнет желание позаниматься со мной физикой или математикой. Я активно занимаюсь репетиторством по школьной программе (физика, математика, ЕГЭ, ОГЭ) и по вузовскому курсу Общей физики.
