От родителя в сообщения группы пришёл такой вопрос:
«Есть ли в учебниках Пчелко и Поповой за 3-4 класс задачи на логику типа "голова и ноги"?
Полезны ли такие задачи для начальной школы?»
Напомню, что речь идёт о таком типе задач:
1. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Сын спросил у отца: «Папа, сколько у нас гусей и сколько поросят?».
– А вот угадай-ка сам: число всех голов 30, число всех ног 84.
Сын подумал и решил задачу.
Как он решил её?
2. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов.
Известно только то, что всего в клетке 35 голов и 94 ноги. Сколько было фазанов и сколько кроликов?
Итак, по первому вопросу про учебники А.С. Пчёлко и Н.С. Поповой.
В обычных учебниках А.С. Пчёлко подобных задач нет. Предполагаю, что и в учебниках Н.С. Поповой тоже.
В классической методике обычно предпочитают отделять типовые примеры и задачи от так называемых задач на сообразительность.
Однако, у соавтора А.С. Пчёлко, Г.Б. Поляка, есть пособие «Занимательные задачи» [1], в котором задачи про «головы и ноги» присутствуют.
Примеры выше как раз взяты из этого пособия (cм. стр. 88, задачи 61 и 62).
В целом про опыт сочетания типовых и нетиповых задач в классической методике можно прочитать в статье Т.А. Алтушкиной «О типовых и нестандартных задачах» [2]. Можно ещё дополнительно прочесть статью [3] на схожую тему того же автора.
Что касается пользы от этих задач и насколько они развивают мышление школьников…
Тут, конечно, нужно учитывать контекст.
Задача про головы и ноги – типичная кружковая задача для младших школьников.
Ведущий кружка разбирая подобные задачи всегда должен понимать, зачем он задаёт её школьникам.
Мне нравятся подобные задачи тем, что они позволяют школьникам использовать перебор вариантов. Ведь потом можно подумать над оптимизацией перебора.
Этот переход очень важен. Когда школьник задумывается, можно ли было сократить поиск, есть ли какие закономерности, то это хорошо развивает мышление.
Да и в целом, это довольно естественное развитие для подобной задачи.
Другие же методы решения, которые обычно предлагаются школьникам, выглядят немного искусственно и вряд ли как-то развивают самостоятельное мышление учеников.
Вот, например, автор одной из популярных линеек учебников А.В. Шевкин так [4] описывает работу школьников над этой задачей:
«Конечно, следуя «правилам оптимальной стратегии», можно составить уравнение
4x + 2×(35 – x) = 94, где x — число кроликов, и получить ответ задачи.
Но если мы обучаем детей не только с целью получения ответа, если нам небезразличны эмоциональный фон обучения, развитие фантазии детей и их способности рассуждать, то, может быть, с ними полезно провести диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос).
— Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
— 70 (35·2 = 70).
— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?
— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.
— Сколько их?
— 24 (94 – 70 = 24).
— Сколько же кроликов?
— 12 (24:2 = 12).
— А фазанов?
— 23 (35 – 12 = 23).»
Все эти необычные предложения, вроде морковки на клетке, действительно эмоционально вовлекают учеников. Однако, эти идеи не срабатывают, если чуть изменить условие задачи.
Например, посмотрите задачи в такой [5] подборке. Тут нужно каждый раз придумывать новые техники.
Можно попробовать порисовать с учениками [6]
Однако, почитайте про опыт Жени Кац [7]:
«Через год попробовали снова подступиться к этой теме.
Ну, что я вам скажу, как с чистого листа.
Подбором, пока числа маленькие, пытаются решать, но объяснить идею нам в тот раз явно не удалось.
И даже третий класс, который, якобы, проходил начало таблицы умножения, и с нами играл в таблицу Пифагора, зависает на 5 минут, если надо узнать, 24 ноги - это сколько черепах?»
Получается, что не всё так гладко даже с рисованием…
Кажется, что гораздо честнее всё-таки перейти к уравнению или системе уравнений в более старших классах. А не пытаться выплыть через арифметическое решение, используя построения, которые лишь маскируют изначально алгебраический способ.
Ссылки:
[1] Занимательные задачи, Г.Б. Поляк.
[2] О типовых и нестандартных задачах, Т.А. Алтушкина.
[3] Какие задачи развивают ребёнка — лёгкие или трудные?, Т.А. Алтушкина.
[4] Текстовые задачи в школьном курсе математики (лекция 1). А. В. Шевкин.
[5] Задачи про головы и ноги. Сайт учителя математики Антиповой Ларисы Валентиновны.
[6] Решение задач "Головы и ноги". Блог Кряжевских Елены.
[7] Головы и ноги за забором. Женя Кац.