Те, кто хоть как-то связан с математикой обязательно слышал страшное слово "ЭКСПОНЕНТА". А ещё её очень любят вставлять в какие-нибудь научные труды демонстрируя развитие какого-то процесса по "экспоненциальному росту". Да ещё и "е" вдруг не буква, а число. Что же это всё значит, давайте разбираться)
Число Эйлера. История появления экспоненты
Начнем с того, что "е" - это число. Такое же число, как 1, 2, 3. Это одно из самых важных чисел в математике, на ряду с числом π=3,1415926535... (Историю появления числа π, я расскажу в следующий раз).
Это число имеет множество применений в разных областях нашей жизни, от статистических исследований до анализа каких-либо явлений. Но откуда оно появилось?
Любое открытие в математике - является решением какой-либо практической задачи. Например так в 1690 году в Швейцарии один известнейший математик Якоб Бернулли (один из основателей теории вероятности) задался следующим вопросом: "Какова максимальная величина процентного дохода при постоянной капитализации?"
Предположим, что у Вас есть 100 условных единиц какой-либо валюты, и Вы хотите положить эти деньги в банк под 100% годовых. Тогда к концу года, у вас уже будет 200 условных единиц вашей валюты.
Бернулли предположил, а если начислять проценты не в конце года, а частями. Например, каждую четверть года начислять по 25% от накопившейся суммы.
Тогда по сравнению с капитализацией, которая осуществляется раз в год, мы приобретем на 44 условных единиц больше.
Давайте попробуем упростить формулу и вывести закономерность исчисления.
Пусть теперь мы вкладываем 1 условную единицу, под 100% годовых, но капитализация происходит два раза в год.
Если представить данную запись в виде формулы, то она будет выглядеть следующим образом:
Давайте попробуем упростить данное выражение.
1) Для начала сделаем более удобную запись:
2) Приведем к общему знаменателю слагаемые выделенные цветом:
3) Снова упростим запись и снова приведем к общему знаменателю, слагаемые выделенные цветом:
4) Избавимся от знаменателя, т.е. поделим каждое слагаемое на него:
5) Ничего не напоминает? Это же квадрат суммы.
Попробуйте ради эксперимента провести такое же вычисление для вклада на 1 у.е., только теперь на капитализацию 4 раза в год.
При своих расчетах, вы столкнетесь с формулой суммы четвертой степени, которая выглядит следующим образом:
Которая преобразуется в следующую запись:
Не замечаете закономерность? Мы с вами вывели закономерность вычисления сложного процента.
ВАЖНО ДЛЯ ЕГЭ (экономическая задача 2 части)
Выше представлен более обобщенный вид формулы, нам для дальнейших вычислений пригодится формула следующего вида:
Но вернемся снова к числу е, причем же здесь оно?
Если обратить внимание на вычисление выше, что чем больше была наше n, тем выше была наша капитализация. Поэтому Якоб Бернулли задался вопросом, какому численному значению будет равняться эта капитализация, если n будет максимально большим (математическими словами, стремящимся к бесконечности).
А теперь мы познакомились с таким понятием, которое может встретиться в высшем учебном заведении, при изучении пределов. Это выражение называется второй замечательный предел.
Якоб Бернулли к сожалению так и не смог найти численное значение этого предела. Это удалось сделать только спустя 50 лет Леонардом Эйлером и Карлом Гауссом (причем не известно, кто сделал это первым).
Леонард Эйлер доказал, что это число полученное при вычислениях второго замечательного предела иррациональное e=2,71828182845904...
Иррациональное число - это вещественное число, которое невозможно представить в виде дроби. Оно может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
В ходе своих вычислений он назвал это число "е". В честь ученого, который смог его посчитать, теперь это число также называют числом Эйлера.
__________________________________________________________________________
*В следующем статье я обязательно расскажу, что же за зверь такой экспонента, как она связана с числом "e" и как оно теперь помогает при исследованиях в различных сферах нашей жизни, от экономики до биологии.
*А если будет интересно окунуться в эпоху вычислений Леонарда Эйлера и вместе понять, как же он вычислил это число, то пишите в комментариях, обязательно разберемся)
