Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
В последнее время можно встретить в интернете разные задачи про углы внутри квадрата. Вот, например, одна из таких задач:
В принципе, здесь часто в подобных задачах дают только один угол (в нашем конкретном случае это был бы угол OAD, который равен 15 градусов. Угол BAO можно вычислить как разность между 90 и 15, а угол ADO равен 15 потому, что треугольник AOD равнобедренный (как и треугольник BOC, то это пока не так сильно важно).
Итак, дается какая-то точка внутри квадрата, часто ее дают так, чтобы при делении исходного квадрата пополам на два одинаковых прямоугольника эта точка (в нашем случае эта точка О) оказалась бы на том самом отрезке, который делит исходный квадрат пополам.
Итак, уточним, что именно нам известно с самого начала:
- ABCD - это квадрат;
- BO = OC (или AO=OD, это не суть важно, главное в том, что точка O проходит через ту прямую, которая параллельна двум сторонам квадрата и делит его на два одинаковых прямоугольника);
- угол OAD = 15 градусов.
Найти угол BCO.
Конечно же, можно придумать несколько разных способов решения этой задачи, но есть один легкий и универсальный, то есть: он будет работать для всех значений угла OAD (конечно, в разумных пределах, то есть: OAD должно быть в градусах больше ноля, но и меньше примерно 64-х градусов, потому что тангенс нужного нам угла должен быть не больше двух, а в этом случае сам угол должен быть не больше, чем 63 градуса с небольшим "хвостиком".
- А теперь самое интересное, а именно: простая и универсальная методика решения задач подобного типа! Весь "фокус" в том, что тангенс угла OAD плюс тангенс угла BCO всегда будет равно двум (2)!
Итак, tg(уг. OAD + tg(уг. BCO) = 2
Разумеется, при тех самых исходных условиях, и при тех самых ограничениях, о которых мы уже говорили.
При желании это можно доказать (ну почему бы этого не сделать, ведь может случиться так, что учителю или преподавателю захочется задать вопрос: "а откуда Вы это взяли, что сумма тангенсов этих углов равна двум"?).
Хорошо, приведем доказательство. Разделим пополам исходный квадрат следующим образом:
Итак, дорисуем F1F2, эта линия делит исходный квадрат пополам.
Если принять за х (икс) половину стороны исходного квадрата, тогда получим:
- каждая сторона будет равна 2х, и F1F2 тоже будет равна 2х;
- AF1=F2C=x.
После этого продолжение решения нашей задаче (об угле внутри квадрата) становится достаточно простым, как и доказательство суммы тангенсов двух углов.
Тангенс угла OAF1 - это есть отношение OF1 к AF1 (но мы уже знаем, что AF1 это х (икс).
Аналогично, тангенс угла OCF2 - это отношение OF2 к F2C (но мы знаем, что F2C - это тоже х (икс).
Тогда сумма этих двух тангенсов равна:
OF2/x + OF1/x = (OF2+OF1)/x.
Но мы также знаем, что OF2+OF1 - это и есть наш отрезок F1F2, который равен стороне квадрата и равен 2х.
А это значит, что сумма тангенсов двух углов будет равна 2х/х=2.
Теперь продолжим решать задачу и находить тот угол, который нам нужен.
Нам уже известно, что есть два угла, и сумма их тангенсов равна двум. Один из этих углов известен (и равен 15 градусов). Его тангенс можно найти по справочникам или вычислить самостоятельно, исходя из формулы тангенса половинчатого угла:
Применительно к нашему случаю, удобнее воспользоваться второй формулой, потому что альфа - это 30 градусов, синус 30 градусов - это 0,5, а деление на 0,5 равноценно умножению на 2.
Косинус 30 градусов - это корень из трех, деленный на 2. А это значит, что можно быстро найти тангенс 15 градусов:
Итак, тангенс 15 градусов мы вычислили (ну или просто посмотрели в справочнике, кому как нравится). Но мы уже выяснили, что если к этому числу прибавить тангенс того самого угла BCO, который нам и надо найти, то получим 2. Обозначим числом y (игрек) тангенс того угла, который надо найти.
Таким образом, получим простое уравнение:
Очевидно, что у = корень из трех, а нужный нам угол - это 60 градусов, потому что именно тангенс 60-ти градусов равен корню из трех.
- Итак, ответ: угол BCO равен 60 градусов. Задача решена.
А на этом пока всё, всем пока, подписывайтесь на мой канал, и до новых встреч!
Кстати, на моем канале есть очень много интересного. Краткий навигатор по моему каналу с указанием основных тем (подборок) вместе со ссылками можно найти здесь, по этой ссылке.
