Давайте сначала вспомним, что такое группа.
Определение 1.
Группа — это непустое множество (обозначим его G) и отображение
* : G×G → G (каждой паре a, b элементов из G ставится в соответствие композиция a*b)
Причем, чтобы множество G и операция * назывались группой, необходимо выполнение трех условий:
1. Ассоциативность операции * :
2. Существование нейтрального элемента в G:
3. Существование обратных элементов:
Теперь понятно, что множество целых чисел Z с операцией "+" является группой, так как "+", действительно, ставит в соответствие любой паре целых чисел их сумму, которая также является целым числом, также сложение ассоциативно, нейтральный элемент e=0, а обратный к n есть просто противоположное число (-n).
Группы вообще бывают самые разные: конечные, бесконечные (счетные, континуальные, ...).
Дадим еще одно определение.
Определение 2.
Подмножество H некоторой группы G с операцией * называется подгруппой группы G, если H является группой относительно операции *, которая действует также, как и на G, только ограниченной на H.
Иными словами:
Заметьте, что нейтральный элемент группы G содержится в любой ее подгруппе. Действительно, так как H непусто, там есть некоторый элемент h, а также обратный к нему. Если же взять их композицию, как раз получится нейтральный элемент e.
Пример подгруппы.
Самое время посмотреть на какие-нибудь конкретные подгруппы на примере подгрупп Z :)
Рассмотрим, например, все четные целые числа. Обозначим такое подмножество H = { 2k | k — целое }. Ясно, что складывая два четных числа мы получим обязательно четное число, а также число, противоположное данному четному числу, тоже будет четным. 0, само собой, тоже лежит в H. Поздравляю вас, мы только что нашли самую настоящую подгруппу группы целых чисел :)
+Еще бесконечное количество примеров.
На самом деле, если взять любое целое n ≥ 0, то множество nZ = { nk | k — целое } образует подгруппу группы Z, что доказывается аналогично. Ну, почти аналогично. Если n = 0, то подгруппа вообще состоит только из нейтрального элемента 0. А если n = 1, то подгруппа совпадает с Z :)
Внимание, вопрос!
А есть ли еще какие-нибудь подгруппы группы Z? Оказывается, что нет! И сейчас я вам расскажу, почему :)
Давайте предположим, что найдется некоторая подгруппа M группы Z, причем она не совпадает ни с одним nZ.
Во-первых, давайте поймем, что в M точно есть хотя бы одно положительное число. Предположим, что это не так, и попробуем получить противоречие. Мы точно можем утверждать, что 0 лежит в M, так как M — подгруппа. Если больше там ничего нет, то M = nZ при n=0, но так быть не может, потому что M не совпадает ни с одним nZ. Тогда в M есть еще хотя бы одно число, обозначим его a. Мы предположили, что положительных там нет, значит a < 0. Но мы помним, что M — подгруппа, а значит, в M лежит также обратный элемент к a, то есть -a. А вот он уже положителен! Противоречие указывает на то, что в M обязательно есть положительное число.
Теперь, зная, что множество положительных чисел в M не пусто, рассмотрим наименьшее положительное m из M. Кстати, домашнее задание читателям: показать, что такое m найдется :)
Так как M — это все еще подгруппа, а m — ее элемент, то и сумма m+m обязана входить в M. Итак, 2m лежит в M. 3m = 2m + m также обитает в M. По индукции легко доказать, что для любого натурального p, произведение pm лежит в нашей любимой подгруппе M. Вспоминая про обратные ко всем этим pm, получим, что для любого, теперь уже целого p, pm лежит в M. Только что мы, по сути, показали, что mZ содержится в M, так как mZ есть ни что иное, как множество всех pm, где p — целое.
Но! Мы также предположили, что и совпадать M и mZ не могут! Значит, в M есть число, которого нет в mZ. Обозначим его k (будем считать, что оно положительное, ибо в противном случае можем взять -k). Раз k>0, k не содержится в mZ, а, следовательно, не совпадает с m, а m — наименьшее положительное число в M, можно смело заключить k>m и k не делится на m. "Что же это значит?",— спросите вы. А это значит, что существуют целые q и r такие, что
(1) k=mq+r
где r<m (можете открыть страничку википедии "деление с остатком" для более детального объяснения). Причем r не может быть нулем, иначе k делилось бы на m и лежало в том самом mZ.
А теперь, внимание! Из равенства (1) следует: r=k-mq. Так как k лежит в M, -mq лежит в M, то и k-mq лежит в M, то есть r лежит в M, а оно меньше m по свойству деления с остатком! Значит, m не было наименьшим положительным числом в M (есть r>0, меньшее m). Противоречие.
А противоречие это говорит о ложности предположения о том, что M есть подгруппа группы Z, не совпадающая ни с одним nZ.
КОНЕЦ :)