Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
Как-то раз мне повстречалась одна задача. Там была трапеция, были известны ее диагонали (они были равны между собой, и равны 6 у.е.), и они пересекались под прямым углом. Надо было найти площадь трапеции.
Нарисуем трапецию, о которой говорилось в той задаче.
ABCD - это та самая трапеция.
Конечно, обычно принято рисовать трапецию так, чтобы основания были параллельны оси абсцисс, но иногда из этого правила можно сделать исключение. Например, в данном случае, здесь это исключение связано с тем, что так удобно рисовать диагонали, четко видны и их размеры, и угол между ними.
Но если все же кому-то больше нравится обычный вид трапеции, мы ее немного повернем. А заодно уберем линии сетки и оси координат. Правда, основные буквы окажутся под углом.
А теперь продолжим решать саму задачу.
Есть как минимум три варианта (способа) решения этой задачи.
Начнем с самого сложного.
Можно дополнить рисунок, удлиннив большее основание трапеции на величину меньшего основания. Мы построим параллелограмм ABEC.
Мы добавили отрезки BE и CE.
Затем докажем, что треугольники CBE и DAB равны.
Исходя из того, что DB=AC (по условию, диагонали трапеции равны) следует не только равенство треугольников DBC и DCA, но и то, что наша трапеция равнобедренная. А это значит, что CB=AD.
Кроме того, CE=AB (по построению).
Далее можно доказать либо равенство сторон DB и BE (AC=BE по построению, а DB=AC по условию), либо равенство углов ECB и DAB (один из них равен 180-DCB, а второй равен 180-ADC, а углы DCB и ADC равны потому что это углы при одном основании равнобокой трапеции).
Итак, треугольники CBE и DAB равны. а это значит, что равны и их площади.
А площадь трапеции ABCD будет равна площади треугольника BED. Это прямоугольный треугольник, у которого известны оба катета (6 и 6). А площадь всего треугольника - это 1/2 * 6 * 6 = 18.
Есть и второй способ нахождения площади этой трапеции, более простой.
Разделим трапецию на два треугольника.
Здесь площадь "красного" треугольника можно найти по формуле:
S1 = 1/2 * BD * h1.
А площадь "зеленого" треугольника:
S2 = 1/2 * BD * h2.
Нам даже не важно, чему именно равно h1 и h2, потому что нас интересует сумма S1+S2.
S1+S2 = 1/2 * BD * h1 + 1/2 * BD * h2 = (1/2 * BD) * (h1+h2).
Но очевидно, что h1+h2 = AC, и эта величина нам известна.
Итак, S1+S2 = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 6 * 6 = 18.
Но есть и третий вариант решения этой задачи, еще более простой.
Можно воспользоваться готовой и известной формулой, где площадь любой трапеции равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. У нас угол 90 градусов, его синус равен единице.
S = 1/2 * BD * AC * sin(90) = 1/2 * 6 * 6 * 1 = 18.
Кстати, эта формула S = 1/2 * d1 * d2 * sin(a)
годится для всех трапеций, независимо от того, равнобедренная трапеция или нет.
- Площадь трапеции равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между нами.