В обычной школе этой теореме уделяется весьма мало внимания. А зря!.. Ведь эта теорема может существенно помочь как в изучении геометрии, так и в подготовке к ЕГЭ по математике.
Сегодня мы рассмотрим как саму формулировку этой теоремы, так и её применение в решении реальной задачи ЕГЭ 2020 года.
Итак, сама теорема.
Имеется треугольник ABC. На продолжении стороны AC взята точка D, а на стороне AB взята точка F. Отрезок DF пересекает сторону BC в точке E. Тогда справедливо равенство
Вот и вся теорема. А теперь давайте посмотрим, как она применяется на практике.
Рассмотрим следующую задачу из реального ЕГЭ по математике за 2020 год (условие задачи я взял на сайте РешуЕГЭ)
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁ : C₁B = 8 : 3, BA₁ : A₁C = 1 : 2, CB₁ : B₁A = 3 : 1. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D.
а) Докажите, что ADA₁B₁ — параллелограмм.
б) ... здесь мы ограничимся только пунктом а)
Перейдём непосредственно к решению этой задачи.
Пусть AC₁ = 8x, C₁B = 3x, BA₁ = y, A₁C = 2y, CB₁ = 3z, B₁A = z.
Применим теорему Менелая к треугольнику ABB₁:
Тогда
в результате чего получаем BD : B₁D =1 : 2. Такое же отношение имеет BA₁ : A₁C. Тогда по теореме, обратной теореме Фалеса, получим A₁D ║ AB₁.
Теперь докажем параллельность AD и B₁A₁. Здесь придётся немного повозиться.
Продлим отрезок AD до пересечения со стороной BC и обозначим точку пересечения через K.
Теперь применим теорему Менелая к треугольнику B₁BC
Подставляя данные из условия и предыдущих вычислений, находим
откуда BK:KC=1:8.
Так как отрезок BC по ранее введенным обозначениям равен 3y, то BK=⅓y, A₁K=⅔y, а отношение A₁K : A₁C = ⅔y : 2y=1:3. И такое же отношение у отрезков AB₁ и B₁C по условию!
Тогда опять по теореме, обратной теореме Фалеса, имеем AD ║ A₁B₁.
Итак, у четырехугольника ADA₁B₁ противолежащие стороны параллельны, то есть он по определению является параллелограммом!
Вот так работает теорема Менелая!
Если эта статья была вам полезна, поставьте, пожалуйста лайк. Вам нетрудно, а мне приятно и стимулирует работать для вас!
Если вы хотите и дальше читать мои математические статьи, подпишитесь на канал!
Удачи вам в повторении математики и успешной подготовки к экзаменам!
А я с удовольствием помогу вам в этом!
Ваш Виталий Самонов
#репетиторпоматематике #егэпоматематике #геометрия #планиметрия #теоремаменелая #задача17егэ
